a) Mamy

$f\left(x\right)=2x^3-15x^2+36x-41$  

$D_f=\mathbb{R}$  

Wyznaczamy przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne.

Obliczamy pochodną funkcji.  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=6x^2-30x+36$  

$D_{f{}^{\prime }}=\mathbb{R}$  

Badamy znak pochodnej.    

$6x^2-30x+36=0\mid :6$  

$x^2-5x+6=0$  

$x^2-2x-3x+6=0$  

$x\left(x-2\right)-3\left(x-2\right)=0$  

$\left(x-3\right)\left(x-2\right)=0$  

$x=3\vee x=2$  

Zauważmy, że

$f{}^{\prime }\left(x\right)>0\text{ dla }x\in \left(-\infty ,2\right)\cup \left(3,+\infty \right)$

$f{}^{\prime }\left(x\right)<0\text{ dla }x\in \left(2,3\right)$

Zatem funkcja jest rosnąca w przedziałach 

$(-\infty ,2⟩,⟨3,+\infty )$

Malejąca w przedziale

$⟨2,3⟩$  

Dla x = 2 funkcja osiąga maksimum.

Dla x = 3 funkcja osiąga minimum.  

$f\left(2\right)=2\cdot 8-15\cdot 4+36\cdot 2-41=16-60+72-41=-13$  

$f\left(3\right)=2\cdot 27-15\cdot 9+36\cdot 3-41=54-135+108-41=-14$     

---

b) Mamy

$f\left(x\right)=-x^3+13x^2-48x+50$  

$D_f=\mathbb{R}$  

Wyznaczamy przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne.

Obliczamy pochodną funkcji.

$f{}^{\prime }\left(x\right)=-3x^2+26x-48$  

$D_{f{}^{\prime }}=\mathbb{R}$  

Badamy znak pochodnej. 

$-3x^2+26x-48=0$  

$\Delta ={26}^2-4\cdot 3\cdot 48=676-576=100,\sqrt{\Delta }=10$  

$x=\frac{-26-10}{-6}=\frac{-36}{-6}=6\vee x=\frac{-26+10}{-6}=\frac{-16}{-6}=\frac{8}{3}$    

Zauważmy, że

$f{}^{\prime }\left(x\right)<0\text{ dla }x\in \left(-\infty ,\frac{8}{3}\right)\cup \left(6,+\infty \right)$

$f{}^{\prime }\left(x\right)>0\text{ dla }x\in \left(\frac{8}{3},6\right)$

Zatem funkcja jest malejąca w przedziałach

$(-\infty ,\frac{8}{3}⟩,⟨6,+\infty )$

Rosnąca w przedziale

$⟨\frac{8}{3},6⟩$  

Dla  x=6  funkcja osiąga ma maksimum.

Dla  x=⁸/₃  funkcja osiąga minimum. 

$f\left(6\right)=-216+13\cdot 36-48\cdot 6+50=-216+468-288+50=14$  

$f\left(\frac{8}{3}\right)=-\frac{512}{27}+13\cdot \frac{64}{9}-48\cdot \frac{8}{3}+50=-\frac{512}{27}+\frac{832}{9}-\frac{384}{3}+50=-\frac{512}{27}+\frac{2496}{27}-\frac{3456}{27}+\frac{1350}{27}=-\frac{122}{27}$     

---

c) Mamy

$f\left(x\right)=\frac{2x+2}{x^2+3x+3}$  

Określamy dziedzinę funkcji.

$x^2+3x+3\ne 0$  

$\Delta =9-12<0$  

$D_f=\mathbb{R}$  

Wyznaczamy przedziały monotoniczności i ekstrema.

Obliczamy pochodną.

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{2\left(x^2+3x+3\right)-\left(2x+3\right)\left(2x+2\right)}{{\left(x^2+3x+3\right)}^2}=\frac{2x^2+6x+6-4x^2-4x-6x-6}{{\left(x^2+3x+3\right)}^2}=\frac{-2x^2-4x}{{\left(x^2+3x+3\right)}^2}$  

$D_{f{}^{\prime }}=\mathbb{R}$  

Badamy znak pochodnej.      

$\frac{-2x^2-4x}{{\left(x^2+3x+3\right)}^2}=0$  

$-2x^2-4x=0\mid :2$  

$-x^2-2x=0$  

$-x\left(x+2\right)=0$  

$x=0\vee x=-2$  

Zauważmy, że

$f{}^{\prime }\left(x\right)<0\text{ dla }x\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(0,+\infty \right)$

$f{}^{\prime }\left(x\right)>0\text{ dla }x\in \left(-2,0\right)$

Zatem funkcja jest malejąca w przedziałach

$(-\infty ,-2⟩,⟨0,+\infty )$

Rosnąca w przedziale

$⟨-2,0⟩$  

Dla x=0 funkcja osiąga maksimum.

Dla x=-2 funkcja osiąga ma minimum.  

$f\left(0\right)=\frac{2}{3}$  

$f\left(-2\right)=\frac{-4+2}{4-6+3}=-2$     

---

d) Mamy

$f\left(x\right)=\frac{x^2+2x-3}{x^2+2x}$  

Określamy dziedzinę funkcji.

$x^2+2x\ne 0$  

$x\left(x+2\right)\ne 0$  

$x\ne 0\wedge x\ne -2$  

$D_f=\mathbb{R}\backslash \left\{-2,0\right\}$  

Wyznaczamy przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji.

Obliczamy pochodną funkcji.

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(2x+2\right)\left(x^2+2x\right)-\left(2x+2\right)\left(x^2+2x-3\right)}{{\left(x^2+2x\right)}^2}=\frac{\left(2x+2\right)\left(x^2+2x-x^2-2x+3\right)}{{\left(x^2+2x\right)}^2}=\frac{3\left(2x+2\right)}{{\left(x^2+2x\right)}^2}=\frac{6\left(x+1\right)}{{\left(x^2+2x\right)}^2}$  

$D_{f{}^{\prime }}=\mathbb{R}\backslash \left\{-2,0\right\}$  

Badamy znak pochodnej.  

$\frac{6\left(x+1\right)}{{\left(x^2+2x\right)}^2}=0$  

$6\left(x+1\right)=0$  

$x=-1$  

Zatem:

$f{}^{\prime }\left(x\right)>0\text{ dla }x\in \left(-1,+\infty \right)$

$f{}^{\prime }\left(x\right)<0\text{ dla }x\in \left(-\infty ,-1\right)$

Funkcja jest rosnąca w przedziałach

$⟨-1,0),\left(0,+\infty \right)$

Malejąca w przedziałach

$\left(-\infty ,-2\right),(-2,-1⟩$

Funkcja ma minimum lokalne dla x=-1.

$f\left(-1\right)=\frac{1-2-3}{1-2}=\frac{-4}{-1}=4$