Niech P(x, y) będzie dowolnym punktem różnym od początku układu współrzędnych, leżącym na ramieniu końcowym kąta α ∈ <0°, 360°>. Wówczas: $\sin \alpha =\frac{y}{r},\cos \alpha =\frac{x}{r},\text{gdzie}r=\sqrt{x^2+y^2}$   $\text{tg}\alpha =\frac{y}{x},x\ne 0$   $\text{ctg}\alpha =\frac{x}{y},y\ne 0$

---

$\text{a)}{225}^{\circ }={180}^{\circ }+{45}^{\circ }$  

Rysunek pomocniczy:

---

Rozpatrujemy trójkąt POA o kątach 45⁰, 45⁰, 90⁰.

Trójkąt POA jest połówką kwadratu, więc:

$\left|AO\right|=\left|AP\right|$  

Możemy przyjąć, że:

$\left|AO\right|=\left|AP\right|=1$  

Punkt P leży w III ćwiartce układu współrzędnych, więc x_P<0, y_P<0. Stąd:

$P\left(-1,-1\right)$  

---

Obliczamy wartości funkcji trygonometrycznych kąta 225⁰:

$r=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$  

$\sin {225}^{\circ }=\frac{-1}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$  

$\cos {225}^{\circ }=\frac{-1}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$  

$\text{tg}{225}^{\circ }=\frac{-1}{-1}=1$  

$\text{ctg}{225}^{\circ }=\frac{-1}{-1}=1$  

---

---

$\text{b)}{300}^{\circ }={270}^{\circ }+{30}^{\circ }$  

Rysunek pomocniczy:

---

Rozpatrujemy trójkąt POA o kątach 30⁰, 60⁰, 90⁰.

Przyjmijmy, że:

$\left|AP\right|=1$  

Wówczas z własności trójkąta o kątach 30⁰, 60⁰, 90⁰:

$\left|AO\right|=\left|AP\right|\cdot \sqrt{3}=1\cdot \sqrt{3}=\sqrt{3}$  

Punkt P leży w IV ćwiartce układu współrzędnych, więc x_P>0, y_P<0. Stąd:

$P\left(1,-\sqrt{3}\right)$  

---

Obliczamy wartości funkcji trygonometrycznych kąta 300⁰:

$r=\sqrt{1^2+{\left(-\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$  

$\sin {300}^{\circ }=\frac{-\sqrt{3}}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$  

$\cos {300}^{\circ }=\frac{1}{2}$  

$\text{tg}{300}^{\circ }=\frac{-\sqrt{3}}{1}=-\sqrt{3}$  

$\text{ctg}{300}^{\circ }=\frac{1}{-\sqrt{3}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$  

---

---

$\text{c)}{240}^{\circ }={180}^{\circ }+{60}^{\circ }$  

Rysunek pomocniczy:

---

Rozpatrujemy trójkąt POA o kątach 30⁰, 60⁰, 90⁰.

Przyjmijmy, że:

$\left|AO\right|=1$  

Wówczas z własności trójkąta o kątach 30⁰, 60⁰, 90⁰:

$\left|AP\right|=\left|AO\right|\cdot \sqrt{3}=1\cdot \sqrt{3}=\sqrt{3}$  

Punkt P leży w III ćwiartce układu współrzędnych, więc x_P<0, y_P<0. Stąd:

$P\left(-1,-\sqrt{3}\right)$  

---

Obliczamy wartości funkcji trygonometrycznych kąta 240⁰:

$r=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(-\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$  

$\sin {240}^{\circ }=\frac{-\sqrt{3}}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$  

$\cos {240}^{\circ }=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$  

$\text{tg}{240}^{\circ }=\frac{-\sqrt{3}}{-1}=\sqrt{3}$  

$\text{ctg}{240}^{\circ }=\frac{-1}{-\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$