Niech P(x, y) będzie dowolnym punktem różnym od początku układu współrzędnych, leżącym na ramieniu końcowym kąta α ∈ <0°, 360°>. Wówczas: $\sin \alpha =\frac{y}{r},\cos \alpha =\frac{x}{r},\text{gdzie}r=\sqrt{x^2+y^2}$   $\text{tg}\alpha =\frac{y}{x},x\ne 0$   $\text{ctg}\alpha =\frac{x}{y},y\ne 0$

---

a) Z rysunku odczytujemy, że:

$x_P=-1$  

Z własności trójkąta o kątach 30⁰, 60⁰, 90⁰:

$y_P=\left|x_P\right|\cdot \sqrt{3}=\left|-1\right|\cdot \sqrt{3}=1\cdot \sqrt{3}=\sqrt{3}$  

(Punkt P leży w II ćwiartce, więc y_P>0, dlatego wartość x_P wybieramy z wartością bezwzględną.)

Obliczamy wartości funkcji trygonometrycznych kąta α:

$r=\sqrt{x_P^2+y_P^2}=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$  

$\sin \alpha =\frac{y_P}{r}=\frac{\sqrt{3}}{2}$  

$\cos \alpha =\frac{x_P}{r}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$  

$\text{tg}\alpha =\frac{y_P}{x_P}=\frac{\sqrt{3}}{-1}=-\sqrt{3}$  

$\text{ctg}\alpha =\frac{x_P}{y_P}=\frac{-1}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$  

---

b) Z rysunku odczytujemy, że:

$y_P=-1$  

Z własności trójkąta o kątach 30⁰, 60⁰, 90⁰:

$x_P=y_P\cdot \sqrt{3}=-1\cdot \sqrt{3}=-\sqrt{3}$  

(Punkt P leży w III ćwiartce, więc x_P<0, dlatego wybieramy rzeczywistą wartość y_P.)

Obliczamy wartości funkcji trygonometrycznych kąta α:

$r=\sqrt{x_P^2+y_P^2}=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(-\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$  

$\sin \alpha =\frac{y_P}{r}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$  

$\cos \alpha =\frac{x_P}{r}=\frac{-\sqrt{3}}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$  

$\text{tg}\alpha =\frac{y_P}{x_P}=\frac{-1}{-\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$  

$\text{ctg}\alpha =\frac{x_P}{y_P}=\frac{-\sqrt{3}}{-1}=\sqrt{3}$  

---

c) Z rysunku odczytujemy, że:

$x_P=1$  

$y_P=-1$  

Obliczamy wartości funkcji trygonometrycznych kąta α:

$r=\sqrt{x_P^2+y_P^2}=\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$  

$\sin \alpha =\frac{y_P}{r}=\frac{-1}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$  

$\cos \alpha =\frac{x_P}{r}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

$\text{tg}\alpha =\frac{y_P}{x_P}=\frac{-1}{1}=-1$  

$\text{ctg}\alpha =\frac{x_P}{y_P}=\frac{1}{-1}=-1$