$\text{a)}\sin \beta =\frac{4}{5},\cos \beta =-\frac{\sqrt{3}}{5}$  

Sprawdzamy, czy jest spełniona jedynka trygonometryczna:

${\sin }^2\beta +{\cos }^2\beta ={\left(\frac{4}{5}\right)}^2+{\left(-\frac{\sqrt{3}}{5}\right)}^2=\frac{16}{25}+\frac{3}{25}=\frac{19}{25}\ne 1$  

Jedynka trygonometryczna nie jest spełniona, więc nie istnieje kąt β spełniający podane warunki.

---

$\text{b)}\cos \beta =\frac{4}{5},\text{tg}\beta =\frac{5}{3}$  

Wyznaczamy sinβ:

$\text{tg}\beta =\frac{\sin \beta }{\cos \beta }$  

$\frac{5}{3}=\frac{\sin \beta }{\frac{4}{5}}\mid \cdot \frac{4}{5}$  

$\frac{5}{3}\cdot \frac{4}{5}=\sin \beta$  

$\sin \beta =\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}$  

Otrzymaliśmy, że sinβ>1, czyli sprzeczność. Oznacza to, że nie istnieje kąt β spełniający podane warunki.

---

$\text{c)}\sin \beta =-\frac{4}{5},\text{tg}\beta =\frac{4}{3}$  

Wyznaczamy cosβ:

$\text{tg}\beta =\frac{\sin \beta }{\cos \beta }$  

$\frac{4}{3}=\frac{-\frac{4}{5}}{\cos \beta }$  

$\frac{4}{3}=-\frac{4}{5\cos \beta }\mid :4$  

$\frac{1}{3}=-\frac{1}{5\cos \beta }$  

$5\cos \beta =-3\mid :5$  

$\cos \beta =-\frac{3}{5}$  

Sprawdzamy, czy jest spełniona jedynka trygonometryczna:

${\sin }^2\beta +{\cos }^2\beta ={\left(-\frac{4}{5}\right)}^2+{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=\frac{25}{25}=1$  

Jedynka trygonometryczna jest spełniona, więc istnieje kąt β spełniający podane warunki.

sinβ<0, cosβ<0, więc końcowe ramię kąta leży w III ćwiartce układu współrzędnych.