Niech P(x, y) będzie dowolnym punktem różnym od początku układu współrzędnych, leżącym na ramieniu końcowym kąta α ∈ <0°, 360°>. Wówczas: $\sin \alpha =\frac{y}{r},\cos \alpha =\frac{x}{r},\text{gdzie}r=\sqrt{x^2+y^2}$   $\text{tg}\alpha =\frac{y}{x},x\ne 0$   $\text{ctg}\alpha =\frac{x}{y},y\ne 0$

---

$\text{a)}\text{tg}\alpha =\frac{1}{3}$  

tgα>0, więc końcowe ramię kąta leży w I lub w III ćwiartce układu współrzędnych.

Z definicji funkcji tangens

$\text{tg}\alpha =\frac{y_P}{x_P}$  

$\frac{1}{3}=\frac{y_P}{x_P}$  

$x_P=3y_P$  

więc współrzędne punktu leżącego na końcowym ramieniu kąta są postaci:

$\left(3y_P,y_P\right)$  

---

Przyjmując y_P=1, otrzymamy punkt 

$P_1\left(3,1\right)$  

leżący na końcowym ramieniu kąta w I ćwiartce układu współrzędnych.

Przyjmując y_P=-1, otrzymamy punkt 

$P_2\left(-3,-1\right)$  

leżący na końcowym ramieniu kąta w III ćwiartce układu współrzędnych.

---

Obliczamy wartości funkcji trygonometrycznych kąta α=α₁:

$r=\sqrt{x_{P_1}^2+y_{P_1}^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$  

$\sin {\alpha }_1=\frac{y_{P_1}}{r}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$  

$\cos {\alpha }_1=\frac{x_{P_1}}{r}=\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}\cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$  

$\text{ctg}{\alpha }_1=\frac{x_{P_1}}{y_{P_1}}=\frac{3}{1}=3$  

Obliczamy wartości funkcji trygonometrycznych kąta α=α₂:

$r=\sqrt{x_{P_2}^2+y_{P_2}^2}=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$  

$\sin {\alpha }_2=\frac{y_{P_2}}{r}=\frac{-1}{\sqrt{10}}=-\frac{1}{\sqrt{10}}\cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$  

$\cos {\alpha }_2=\frac{x_{P_2}}{r}=\frac{-3}{\sqrt{10}}=-\frac{3}{\sqrt{10}}\cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}=-\frac{3\sqrt{10}}{10}$  

$\text{ctg}{\alpha }_2=\frac{x_{P_2}}{y_{P_2}}=\frac{-3}{-1}=3$  

---

---

$\text{b)}\text{ctg}\alpha =2$  

ctgα>0, więc końcowe ramię kąta leży w I lub w III ćwiartce układu współrzędnych.

Z definicji funkcji cotangens

$\text{ctg}\alpha =\frac{x_P}{y_P}$  

$2=\frac{x_P}{y_P}$  

$x_P=2y_P$  

więc współrzędne punktu leżącego na końcowym ramieniu kąta są postaci:

$\left(2y_P,y_P\right)$  

---

Przyjmując y_P=1, otrzymamy punkt 

$P_1\left(2,1\right)$  

leżący na końcowym ramieniu kąta w I ćwiartce układu współrzędnych.

Przyjmując y_P=-1, otrzymamy punkt 

$P_2\left(-2,-1\right)$  

leżący na końcowym ramieniu kąta w III ćwiartce układu współrzędnych.

---

Obliczamy wartości funkcji trygonometrycznych kąta α=α₁:

$r=\sqrt{x_{P_1}^2+y_{P_1}^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$  

$\sin {\alpha }_1=\frac{y_{P_1}}{r}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$  

$\cos {\alpha }_1=\frac{x_{P_1}}{r}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$  

$\text{tg}{\alpha }_1=\frac{y_{P_1}}{x_{P_1}}=\frac{1}{2}$  

Obliczamy wartości funkcji trygonometrycznych kąta α=α₂:

$r=\sqrt{x_{P_2}^2+y_{P_2}^2}=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$  

$\sin {\alpha }_2=\frac{y_{P_2}}{r}=\frac{-1}{\sqrt{5}}=-\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$  

$\cos {\alpha }_2=\frac{x_{P_2}}{r}=\frac{-2}{\sqrt{5}}=-\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$  

$\text{tg}{\alpha }_2=\frac{y_{P_2}}{x_{P_2}}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}$  

---

---

$\text{c)}\sin \alpha =0,8=\frac{4}{5}$  

sinα>0, więc końcowe ramię kąta leży w I lub w II ćwiartce układu współrzędnych.

Z definicji funkcji sinus

$\sin \alpha =\frac{y_P}{r}$  

$\frac{4}{5}=\frac{y_P}{r}$  

$\frac{4}{5}=\frac{y_P}{\sqrt{x_P^2+y_P^2}}$  

W I lub II ćwiartce układu współrzędnych y_P>0, więc możemy przyjąć, że

$y_P=4$  

Wyznaczamy wartość x_P:

$\frac{4}{5}=\frac{4}{\sqrt{x_P^2+4^2}}\mid :4$  

$\frac{1}{5}=\frac{1}{\sqrt{x_P^2+16}}$  

$\sqrt{x_P^2+16}=5\mid {}^2$  

$x_P^2+16=25$  

$x_P^2=9$  

$x_P=-3\text{lub}{x}_P=3$  

---

Przyjmując x_P=3, otrzymamy punkt 

$P_1\left(3,4\right)$  

leżący na końcowym ramieniu kąta w I ćwiartce układu współrzędnych.

Przyjmując x_P=-3, otrzymamy punkt 

$P_2\left(-3,4\right)$  

leżący na końcowym ramieniu kąta w II ćwiartce układu współrzędnych.

---

Obliczamy wartości funkcji trygonometrycznych kąta α=α₁:

$r=\sqrt{x_{P_1}^2+y_{P_1}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$  

$\cos {\alpha }_1=\frac{x_{P_1}}{r}=\frac{3}{5}$  

$\text{tg}{\alpha }_1=\frac{y_{P_1}}{x_{P_1}}=\frac{4}{3}$  

$\text{ctg}{\alpha }_1=\frac{x_{P_1}}{y_{P_1}}=\frac{3}{4}$  

Obliczamy wartości funkcji trygonometrycznych kąta α=α₂:

$r=\sqrt{x_{P_2}^2+y_{P_2}^2}=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$  

$\cos {\alpha }_2=\frac{x_{P_2}}{r}=-\frac{3}{5}$  

$\text{tg}{\alpha }_2=\frac{y_{P_2}}{x_{P_2}}=\frac{4}{-3}=-\frac{4}{3}$  

$\text{ctg}{\alpha }_2=\frac{x_{P_2}}{y_{P_2}}=-\frac{3}{4}$