Określając dziedzinę funkcji  $f,$  musimy zwrócić uwagę na kilka rzeczy.

$f\left(x\right)=\sqrt{\frac{\left(x^2+x-6\right)\left(x-2\right)}{x-5}}$  

(1) W zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne. Musimy więc założyć, że:

$x-5\ne 0$  

$x\ne 5$  

(2) Nie istnieje pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia z liczby ujemnej. Stąd otrzymujemy następującą nierówność:

$\frac{\left(x^2+x-6\right)\left(x-2\right)}{x-5}\ge 0$  

Dziedzinę tej nierówności określiliśmy już w punkcie (1).

$\frac{\left(x^2-2x+3x-6\right)\left(x-2\right)}{x-5}\ge 0$  

$\frac{\left(x\left(x-2\right)+3\left(x-2\right)\right)\left(x-2\right)}{x-5}\ge 0$  

$\frac{\left(x-2\right)\left(x+3\right)\left(x-2\right)}{x-5}\ge 0$  

$\frac{{\left(x-2\right)}^2\left(x+3\right)}{x-5}\ge 0$  

Nierówność wymierną zastępujemy nierównością wielomianową.

${\left(x-2\right)}^2\left(x+3\right)\left(x-5\right)\ge 0$  

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $y={\left(x-2\right)}^2\left(x+3\right)\left(x-5\right).$  

${\left(x-2\right)}^2\left(x+3\right)\left(x-5\right)=0$  

${\left(x-2\right)}^2=0\vee x+3=0\vee x-5=0$  

$x-2=0\vee x=-3\vee x=5$  

$x=2\vee x=-3\vee x=5$  

Pierwiastki zapiszemy w kolejności od najmniejszego do największego i określimy ich krotności.

$\underset{\text{1-kr}}{\underbrace{x=-3}}\vee \underset{\text{2-kr}}{\underbrace{x=2}}\vee \underset{\text{1-kr}}{\underbrace{x=5}}$  

Rysowanie wykresu zaczynamy od prawej strony.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią, więc zaczynamy nad osią  $x.$  

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.

$x\in (-\infty ;-3⟩\cup \left\{2\right\}\cup ⟨5;+\infty )$  

Do zbioru rozwiązań nierówności wymiernej należą te rozwiązania, które spełniają założenia, więc:

$x\in (-\infty ;-3⟩\cup \left\{2\right\}\cup \left(5;+\infty \right)$  

Wobec tego:

$D_f=(-\infty ;-3⟩\cup \left\{2\right\}\cup \left(5;+\infty \right)$  

---

Odpowiedź: A