$\frac{\left(x-1\right){\left(x+2\right)}^2}{{\left(x-1\right)}^2\left(x+2\right)}\ge 0$  

Dziedziną danej nierówności jest zbiór:

$D=\mathbb{R}\text{}\left\{-2,1\right\}$  

Upraszczamy daną nierówność.

$\frac{x+2}{x-1}\ge 0$  

Zapiszemy nierówność równoważną danej.

$\left(x+2\right)\left(x-1\right)\ge 0$  

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $y=\left(x+3\right)\left(x-1\right).$  

$x-1=0\vee x+2=0$  

$x=1\vee x=-2$  

Szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych do góry (współczynnik przy $x^2$  jest dodatni) i przecinającą oś  $x$  w punktach o pierwszych współrzędnych  $x=-2$  i  $x=1.$  

 

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.

$x\in (-\infty ;-2⟩\cup ⟨1;+\infty )$  

Do zbioru rozwiązań nierówności wymiernej należą te rozwiązania, które spełniają założenia, więc:

$x\in \left(-\infty ;-2\right)\cup \left(1;+\infty \right)$  

---

A.   $\frac{{\left(x-1\right)}^2\left(x+2\right)}{\left(x-1\right){\left(x+2\right)}^2}\ge 0$  

Dziedziną danej nierówności jest zbiór:

$D=\mathbb{R}\text{}\left\{-2,1\right\}$  

Upraszczamy daną nierówność.

$\frac{x-1}{x+2}\ge 0$  

Zapiszemy nierówność równoważną danej.

$\left(x-1\right)\left(x+2\right)\ge 0$  

Otrzymaliśmy taką samą nierówność. Dziedziną tej nierówności również jest taki sam zbiór. Zatem i zbiór rozwiązań tej nierówności jest taki sam.

---

B.   $\frac{\left(1-x\right){\left(x+2\right)}^2}{{\left(1-x\right)}^2\left(x+2\right)}<0$  

Dziedziną danej nierówności jest zbiór:

$D=\mathbb{R}\text{}\left\{-2,1\right\}$  

Upraszczamy daną nierówność.

$\frac{x+2}{1-x}<0$   

Zapiszemy nierówność równoważną danej.

$\left(x+2\right)\left(1-x\right)<0$  

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $y=\left(x+2\right)\left(1-x\right).$  

$x+2=0\vee 1-x=0$  

$x=-2\vee x=1$  

Szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych do dołu (współczynnik przy $x^2$  jest ujemny) i przecinającą oś  $x$  w punktach o pierwszych współrzędnych  $x=-2$  i  $x=1.$  

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.

$x\in \left(-\infty ;-2\right)\cup \left(1;+\infty \right)$  

Do zbioru rozwiązań nierówności wymiernej należą te rozwiązania, które spełniają założenia, więc:

$x\in \left(-\infty ;-2\right)\cup \left(1;+\infty \right)$  

---

C.   $\frac{\left(x-1\right){\left(x+2\right)}^3}{{\left(x-1\right)}^3\left(x+2\right)}\ge 0$  

Dziedziną danej nierówności jest zbiór:

$D=\mathbb{R}\text{}\left\{-2,1\right\}$  

Upraszczamy daną nierówność.

$\frac{(x+2{)}^2}{{\left(x-1\right)}^2}\ge 0$   

Zapiszemy nierówność równoważną danej.

${\left(x+2\right)}^2{\left(x-1\right)}^2\ge 0$   

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $y={\left(x+2\right)}^2{\left(x-1\right)}^2.$  

$(x+2{)}^2=0\vee {\left(x-1\right)}^2=0$  

$x=-2\vee x-1=0$  

$x=-2\vee x=1$  

Pierwiastki zapiszemy w kolejności od najmniejszego do największego i określimy ich krotności.

$\underset{\text{2-kr}}{\underbrace{x=-2}}\vee \underset{\text{2-kr}}{\underbrace{x=1}}$  

Rysowanie wykresu zaczynamy od prawej strony.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią, więc zaczynamy nad osią  $x.$  

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.

$x\in \mathbb{R}$

Do zbioru rozwiązań nierówności wymiernej należą te rozwiązania, które spełniają założenia, więc:

$x\in \mathbb{R}\backslash \left\{-2,1\right\}$

co możemy również zapisać w postaci

$x\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(-2,1\right)\cup \left(1,\infty \right)$

---

D.   $\frac{\left(x-1\right){\left(x+2\right)}^2}{{\left(x-1\right)}^2\left(x+2\right)}>0$  

Dziedziną danej nierówności jest zbiór:

$D=\mathbb{R}\text{}\left\{-2,1\right\}$  

Upraszczamy daną nierówność.

$\frac{x+2}{x-1}>0$   

Zapiszemy nierówność równoważną danej.

$\left(x+2\right)\left(x-1\right)>0$   

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $y=\left(x+2\right)\left(x-1\right).$  

$x+2=0\vee x-1=0$  

$x=-2\vee x=1$  

Szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych do góry (współczynnik przy $x^2$  jest dodatni) i przecinającą oś  $x$  w punktach o pierwszych współrzędnych  $x=-2$  i  $x=1.$  

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.

$x\in \left(-\infty ;-2\right)\cup \left(1;+\infty \right)$  

Do zbioru rozwiązań nierówności wymiernej należą te rozwiązania, które spełniają założenia, więc:

$x\in \left(-\infty ;-2\right)\cup \left(1;+\infty \right)$  

---

Odpowiedź: C