Prostopadłościan ten jest zbudowany z 24 kostek o krawędzi długości 1 cm, zatem objętość jednej kostki wynosi 1 cm³,

więc objętość tego prostopadłościanu wynosi 24 cm³.

Zauważmy, że Jacek ułożył prostopadłościan w ten sposób, że

pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu wynosi 70 cm².


Wprowadźmy oznaczenia:

a- długość jednego boku tego prostopadłościanu

b- długość drugiego boku tego prostopadłościanu

c- długość trzeciego boku tego prostopadłościanu

zatem:  

$2ab+2bc+2ac=70$  

$2\cdot \left(ab+bc+ac\right)=70\mid :2$  

$ab+bc+ac=35$  

Wiemy również, że:

$a\cdot b\cdot c=24$  

oraz, że długości boków tego graniastosłupa są liczbami całkowitymi oraz a, b, c < 25 

Przypuśćmy, że:

$a=1\text{cm}$  

$b=1\text{cm}$  

$c=24\text{cm}$  

wówczas:

$1\cdot 1\cdot 24=24$  

jednak:

$1\cdot 1+1\cdot 24+1\cdot 24=1+24+24=49\ne 35$  

Przypuśćmy, że:

$a=1\text{cm}$  

$b=2\text{cm}$  

$c=12\text{cm}$  

wówczas:

$1\cdot 2\cdot 12=24$  

jednak:

$1\cdot 2+2\cdot 12+1\cdot 12=2+24+12=38\ne 35$  

Przypuśćmy, że:

$a=1\text{cm}$  

$b=3\text{cm}$  

$c=8\text{cm}$  

wówczas:

$1\cdot 3\cdot 8=24$  

oraz:

$1\cdot 3+3\cdot 8+1\cdot 8=3+24+8=35$  

Zatem prostopadłościan, który ułożył Jacek ma wymiary 1 cm x 3 cm x 8 cm.

Obliczmy sumę długości wszystkich krawędzi w modelu Jacka:

$4\cdot 1+4\cdot 3+4\cdot 8=4+12+32=48\text{[cm]}$  

Odp.: A


Zauważmy, że Maciek ułożył prostopadłościan w ten sposób, że

suma długości wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu wynosi 40 cm.


Wprowadźmy oznaczenia:

a- długość jednego boku tego prostopadłościanu

b- długość drugiego boku tego prostopadłościanu

c- długość trzeciego boku tego prostopadłościanu

zatem:

$4a+4b+4c=40$  

$4\cdot \left(a+b+c\right)=40\mid :4$  

$a+b+c=10\text{[cm]}$  

Wiemy również, że:

$a\cdot b\cdot c=24$  

oraz, że długości boków tego graniastosłupa są liczbami całkowitymi oraz  a, b, c < 9

Przypuśćmy, że:

$a=2\text{cm}$  

$b=4\text{cm}$  

$c=3\text{cm}$  

wówczas:

$2\cdot 4\cdot 3=24$  

jednak:

$2+4+3=9\ne 10$  

Przypuśćmy, że:

$a=1\text{cm}$  

$b=4\text{cm}$  

$c=6\text{cm}$  

wówczas:

$1\cdot 4\cdot 6=24$  

jednak:

$1+4+6=11\ne 10$  

Przypuśćmy, że:

$a=2\text{cm}$  

$b=2\text{cm}$  

$c=6\text{cm}$  

wówczas:

$2\cdot 2\cdot 6=24$  

oraz:

$2+2+6=10$  

Zatem prostopadłościan, który ułożył Maciek ma wymiary 2 cm x 2 cm x 6 cm.

Obliczmy pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu:

$P_c=2\cdot 2\cdot 2+4\cdot 2\cdot 6=8+48=56{\text{[cm}}^2\text{]}$  

Odp.: D