$\text{a) }{x}^2+y^2-4x-21=0$    

$x^2-4x+4+y^2-21-4=0\mid +25$

${\left(x-2\right)}^2+y^2=25$  

Prosta

$x-5=0$  

Tworzymy i rozwiązujemy metodą podstawiania układ równań 

$\{\begin{array}{l}{\left(x-2\right)}^2+y^2=25\\ x-5=0\end{array}$  

Z drugiego równania wyznaczamy niewiadomą $x$

$x-5=0\mid +5$  

$x=5$ .

Podstawiamy $x=5$  do równania okręgu

${\left(5-2\right)}^2+y^2=25$  

$3^2+y^2=25$  

$9+y^2=25\mid -9$  

$y^2=16$  

$y=-4$  lub $y=4$

Równanie ma dwa pierwiastki, więc okrąg ma dwa punkty wspólne z prostą.

Oba punkty leżą na prostej $x=5$ .

Układ równań ma dwa rozwiązania:

$\{\begin{array}{l}x=5\\ y=-4\end{array}$    i    $\{\begin{array}{l}x=5\\ y=4\end{array}$  

---

$\text{b) }{x}^2+y^2-4x-2y+1=0$

$x^2-4x+4+y^2-2y+1-4=0\mid +4$  

${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=4$

Prosta

$2x-y+4=0$  

Tworzymy i rozwiązujemy metodą podstawiania układ równań 

$\{\begin{array}{l}{\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=4\\ 2x-y+4=0\end{array}$  

Z drugiego równania wyznaczamy niewiadomą $y$

$2x-y+4=0\mid +y$  

$2x+4=y$  

$y=2x+4$

Podstawiamy $y=2x+4$  do równania okręgu

${\left(x-2\right)}^2+{\left(2x+4-1\right)}^2=4$  

${\left(x-2\right)}^2+{\left(2x+3\right)}^2=4$  

$x^2-4x+4+4x^2+12x+9=4$  

$5x^2+8x+13=4\mid -4$  

$5x^2+8x+9=0$  

$\Delta =8^2-4\cdot 5\cdot 9=64-180=-116<0$  - równanie nie ma rozwiązania.

Układ równań nie ma rozwiązania - podany okrąg i prosta nie mają punktów wspólnych.