Przekształćmy równanie okręgu

$x^2+y^2+2x-6y=0$  

$x^2+2x+1+y^2-6y+9-1-9=0\mid +10$  

${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=10$  

 Prostopadłość stycznych do podanej prostej oznacza że są postaci

$x+y+c=0$

Odległość tych stycznych od środka okręgu (-1,3) będzie równa promieniowi okręgu, zatem

$\sqrt{10}=\frac{\left|1\cdot \left(-1\right)+1\cdot 3+c\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}$  

$\sqrt{10}=\frac{\left|-1+3+c\right|}{\sqrt{2}}\mid \cdot \sqrt{2}$

$\sqrt{20}=\left|2+c\right|$

$\left|2+c\right|=2\sqrt{5}$

$2+c=2\sqrt{5}\vee 2+c=-2\sqrt{5}$

$c=-2+2\sqrt{5}\vee c=-2-2\sqrt{5}$  

Stąd

$x+y-2+2\sqrt{5}=0\vee x+y-2-2\sqrt{5}=0$