Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej

---

a)

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

Rozpiszmy lewą stronę równania z definicji funkcji trygonometrycznych

$\text{L}={\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha ={\left(\frac{a}{c}\right)}^2+{\left(\frac{b}{c}\right)}^2=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2}$

Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że

$a^2+b^2=c^2$   

zatem

$\text{L}=\frac{a^2+b^2}{c^2}=\frac{c^2}{c^2}=1=\text{P}$  

co kończy dowód.

---

b)

$\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha =1$  

Rozpiszmy lewą stronę równania z definicji funkcji trygonometrycznych

$\text{L}=\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha =\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}=1=\text{P}$

co kończy dowód. 

---

c)

$\text{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$  

Rozpiszmy prawą stronę równania z definicji funkcji trygonometrycznych

$\text{P}=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{c}\cdot \frac{c}{b}=\frac{a}{b}=\text{tg}\alpha =\text{L}$

co kończy dowód. 

---

d)

$\text{ctg}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$  

Rozpiszmy prawą stronę równania z definicji funkcji trygonometrycznych

$\text{P}=\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\frac{b}{c}}{\frac{a}{c}}=\frac{b}{c}\cdot \frac{c}{a}=\frac{b}{a}=\text{ctg}\alpha =\text{L}$

co kończy dowód. 

---

e)

$1+{\text{tg}}^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$  

Rozpiszmy obie strony równania z definicji funkcji trygonometrycznych

$\text{L}=1+{\text{tg}}^2\alpha =1+{\left(\frac{a}{b}\right)}^2=\frac{b^2}{b^2}+\frac{a^2}{b^2}=\frac{a^2+b^2}{b^2}$  

Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że

$a^2+b^2=c^2$   

zatem

$\text{L}=\frac{a^2+b^2}{b^2}=\frac{c^2}{b^2}={\left(\frac{c}{b}\right)}^2$

$\text{P}=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }=\frac{1}{{\left(\frac{b}{c}\right)}^2}=\frac{1}{\frac{b^2}{c^2}}=\frac{c^2}{b^2}={\left(\frac{c}{b}\right)}^2=\text{L}$

co kończy dowód.  

---

f)

$1+{\text{ctg}}^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$  

Rozpiszmy obie strony równania z definicji funkcji trygonometrycznych

$\text{L}=1+{\text{ctg}}^2\alpha =1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2=\frac{a^2}{a^2}+\frac{b^2}{a^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2}$  

Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że

$a^2+b^2=c^2$   

zatem

$\text{L}=\frac{a^2+b^2}{a^2}=\frac{c^2}{a^2}={\left(\frac{c}{a}\right)}^2$

$\text{P}=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }=\frac{1}{{\left(\frac{a}{c}\right)}^2}=\frac{1}{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{c^2}{a^2}={\left(\frac{c}{a}\right)}^2=\text{L}$

co kończy dowód.