a)

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej 

Z treści zadania wiemy również, że

$\text{tg}\alpha =2,4$  

Z definicji funkcji trygonometrycznej tangens dostajemy

$\text{tg}\alpha =\frac{10}{b}$

Zatem możemy obliczyć długość przyprostokątnej b

$\frac{10}{b}=2,4$

$\frac{10}{b}=\frac{12}{5}$

$12b=50\mid :12$

$b=\frac{50}{12}=\frac{25}{6}$      

 

Długość przyprostokątnej c możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa

$c^2={\left(\frac{25}{6}\right)}^2+{10}^2$

$c^2=\frac{625}{36}+100$

$c^2=\frac{4225}{36}\mid \sqrt{},c>0$

$c=\frac{65}{6}$

 

Mając wyznaczone miary boków danego trójkąta obliczmy jego obwód

$Obw=a+b+c=10+\frac{25}{6}+\frac{65}{6}=10+\frac{90}{6}=10+15=25$  

 

Obliczmy wartości funkcji trygonometrycznych

$\sin \alpha =\frac{10}{\frac{65}{6}}=10\cdot \frac{6}{65}=\frac{60}{65}=\frac{12}{13}$  

$\cos \alpha =\frac{\frac{25}{6}}{\frac{65}{6}}=\frac{25}{6}\cdot \frac{6}{65}=\frac{25}{65}=\frac{5}{13}$      

---

b)

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej

Z treści zadania wiemy również, że

$\text{tg}\alpha =\frac{1}{3}$  

Z definicji funkcji trygonometrycznej tangens dostajemy

$\text{tg}\alpha =\frac{2}{b}$

Zatem możemy obliczyć długość przyprostokątnej b

$\frac{2}{b}=\frac{1}{3}$

$b=6$      

 

Długość przyprostokątnej c możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa

$c^2=6^2+2^2$

$c^2=36+4$

$c^2=40\mid \sqrt{},c>0$

$c=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$

 

Mając wyznaczone miary boków danego trójkąta obliczmy jego obwód

$Obw=a+b+c=2+6+2\sqrt{10}=8+2\sqrt{10}=2\left(4+\sqrt{10}\right)$  

 

Obliczmy wartości funkcji trygonometrycznych

$\sin \alpha =\frac{2}{2\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{10}}{20}=\frac{\sqrt{10}}{10}$  

$\cos \alpha =\frac{6}{2\sqrt{10}}=\frac{6\sqrt{10}}{20}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$