Treść:

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f określonej dla każdej liczby rzeczywistej x. 

Jeden spośród podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji f.

$A.f\left(x\right)=\frac{\cos x+1}{\left|\cos x\right|+1}$  

$B.f\left(x\right)=\frac{\sin x+1}{\left|\sin x\right|+1}$  

$C.f\left(x\right)=\frac{\left|\cos x\right|-2}{\cos x-2}$  

$D.f\left(x\right)=\frac{\left|\sin x\right|-2}{\sin x-2}$  

---

Rozwiązanie:

Z rysunku odczytujemy, że do wykresu funkcji f należy punkt  $P=\left(-\frac{\pi }{2},1\right).$   

Wybieramy taki punkt P, ponieważ wówczas funkcja sinus przyjmuje wartość ujemną (we wzorach funkcji mamy wartość bezwzględną, więc pozwoli nam to wykluczyć kilka odpowiedzi).

$\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)=-1$  

$\cos \left(-\frac{\pi }{2}\right)=0$  

---

Sprawdzamy, czy punkt P należy do wykresu którejś z danych funkcji.

$\text{A.}f\left(-\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\cos \left(-\frac{\pi }{2}\right)+1}{\left|\cos \left(-\frac{\pi }{2}\right)\right|+1}=\frac{0+1}{0+1}=\frac{1}{1}=1$  

$\text{B.}f\left(-\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)+1}{\left|\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)\right|+1}=\frac{-1+1}{\left|-1\right|+1}=\frac{0}{1+1}=0\ne 1$  

$\text{C.}f\left(-\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\left|\cos \left(-\frac{\pi }{2}\right)\right|-2}{\cos \left(-\frac{\pi }{2}\right)-2}=\frac{0-2}{0-2}=\frac{-2}{-2}=1$

$\text{D.}f\left(-\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\left|\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)\right|-2}{\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)-2}=\frac{\left|-1\right|-2}{-1-2}=\frac{1-2}{-3}=\frac{-1}{-3}=\frac{1}{3}\ne 1$  

Otrzymaliśmy, że punkt P należy do wykresów danych wzorami A i C.

Wobec tego odpowiedzi B i D wykluczamy.

---

Wiemy również, że:

$\cos \pi =-1$  

Obliczmy więc wartości funkcji danych wzorami A i C dla x=π:

$\text{A.}f\left(\pi \right)=\frac{\cos \pi +1}{\left|\cos \pi \right|+1}=\frac{-1+1}{\left|-1\right|+1}=\frac{0}{1+1}=0$  

$\text{C.}f\left(\pi \right)=\frac{\left|\cos \pi \right|-2}{\cos \pi -2}=\frac{\left|-1\right|-2}{-1-2}=\frac{1-2}{-3}=\frac{-1}{-3}=\frac{1}{3}$  

Z rysunku odczytujemy, że:

$f\left(\pi \right)\ne 0$  

Zatem odpowiedź A odrzucamy i otrzymujemy, że funkcja, której wykres przedstawiono na rysunku dana jest wzorem C.

---

Prawidłowa odpowiedź to C.