I liceum

II liceum

III liceum

I technikum

II technikum

III technikum

IV technikum

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 2

Matematyka

MATeMAtyka 1. Karty pracy ucznia zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy cz. 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy cz. 2. Reforma 2019

MATeMAtyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres rozszerzony cz. 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Poziom podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 1. Poziom podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Cześć 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Cześć 2. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka poznać, zrozumieć 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 1.Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Ćwiczenia podstawowe. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matura z Matematyki  2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 2

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Teraz matura. Matematyka. Zbiór zadań poziom podstawowy. Reforma 2019

Teraz matura. Matematyka. Zbiór zadań poziom rozszerzony. Reforma 2019

Wprowadźmy oznaczenia: a- długość prostokąta&nbsp; b- szerokość prostokąta. <hr> Pole tego prostokąta&nbsp;jest równe&nbsp; P=ab &nbsp;&nbsp; <hr> Gdyby&nbsp;długość i szerokość prostokąta zwiększyć o 2 cm&nbsp;to ten prostokąt miałby wymiary (a + 2) x (b + 2).&nbsp; Z treści zadania wiemy, że wówczas pole prostokąta zwiększy się o 20 cm2&nbsp;(w stosunku do początkowego), czyli możemy zapisać równanie (a+2)(b+2)=ab+20 ab+2a+2b+4=ab+20 2a+2b+4=20 2a+2b=16    ∣:2 a+b=8  (*) <hr> Gdyby&nbsp;długość i szerokość prostokąta zwiększyć o 3 cm&nbsp;to ten prostokąt miałby wymiary (a + 3) x (b + 3).&nbsp; Obliczmy pole tego prostokąta: P′=(a+3)(b+3)=ab+3a+3b+9= =ab+3(a+b)+9=(*)ab+3⋅8+9=ab+33  [cm2] &nbsp; czyli pole tego prostokąta (w stosunku do początkowego) zwiększyłoby się o 33 cm2.&nbsp; &nbsp; &nbsp;

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku&nbsp;

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym obrazku&nbsp;

Długości przekątnych rombu oznaczmy przez d1 i d2&nbsp;. Wiadomo, że suma długości przekątnych rombu jest równa 20 cm, czyli&nbsp;

Wprowadźmy oznaczenia: a- długość prostokąta&nbsp; b- szerokość prostokąta. <hr> Pole tego prostokąta&nbsp;jest równe&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/cc77b267879a8cdbe3ed6c133565bf7d1531a29c12ac596b10db265fc6292342_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/cc77b267879a8cdbe3ed6c133565bf7d1531a29c12ac596b10db265fc6292342_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;&nbsp; <hr> Gdyby&nbsp;długość i szerokość prostokąta zwiększyć o 2 cm&nbsp;to ten prostokąt miałby wymiary (a + 2) x (b + 2).&nbsp; Z treści zadania wiemy, że wówczas pole prostokąta zwiększy się o 20 cm2&nbsp;(w stosunku do początkowego), czyli możemy zapisać równanie <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/9365e7b2ee3ebae3caea7526e7f197942893d7eed244bfc9c166c72b219213fc_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/9365e7b2ee3ebae3caea7526e7f197942893d7eed244bfc9c166c72b219213fc_big.svg" type="image/svg+xml"></object> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8f49be6d8f465ae988f8b1cf8470fded6deb0d391a9a56fd842950d2406e7cf2_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8f49be6d8f465ae988f8b1cf8470fded6deb0d391a9a56fd842950d2406e7cf2_big.svg" type="image/svg+xml"></object> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/e0e264e0f81b3c0fb0007eb0ea997d023abc2977caaa81d77d5a2124d22d7ceb_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/e0e264e0f81b3c0fb0007eb0ea997d023abc2977caaa81d77d5a2124d22d7ceb_big.svg" type="image/svg+xml"></object> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/00faea24d3b43da0fa5bb9cb57fce12892400090a872b7bf94aefeec8807d857_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/00faea24d3b43da0fa5bb9cb57fce12892400090a872b7bf94aefeec8807d857_big.svg" type="image/svg+xml"></object> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/82a521565c269fcbd928f7b97ca66df5551e2a38c54cbe1a6335e2a0ca9edcd5_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/82a521565c269fcbd928f7b97ca66df5551e2a38c54cbe1a6335e2a0ca9edcd5_big.svg" type="image/svg+xml"></object> <hr> Gdyby&nbsp;długość i szerokość prostokąta zwiększyć o 3 cm&nbsp;to ten prostokąt miałby wymiary (a + 3) x (b + 3).&nbsp; Obliczmy pole tego prostokąta: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/1544651d60fc3b6f16bed8a9270526e4b7000b688a98ad3fcd837193aafcc40f_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/1544651d60fc3b6f16bed8a9270526e4b7000b688a98ad3fcd837193aafcc40f_big.svg" type="image/svg+xml"></object> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a6df6d51a2cfe57c32bd2360ebc3cb7b65224e210d539266a8db66f18e8eab41_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a6df6d51a2cfe57c32bd2360ebc3cb7b65224e210d539266a8db66f18e8eab41_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; czyli pole tego prostokąta (w stosunku do początkowego) zwiększyłoby się o 33 cm2.&nbsp; &nbsp; &nbsp;

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym obrazku <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/133056/xSv3SMBOp5pG3WpIHD9BlA%3D%3D_e167756169a31ad07b47157559abfc75894e723dd31772f4b03dea2cc6739051.jpg" alt="" width="341" height="230"> <hr> a) Punkty P i Q są środkami boków AB i BC, więc: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f6116aad570b703c93438760dba4a7d2fd83f7a34b7a2464c84f622a42951b7a_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f6116aad570b703c93438760dba4a7d2fd83f7a34b7a2464c84f622a42951b7a_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/50037a4ca4deb96b0fec2fd5dc78087ee051dc1ab9de10cd711abd7f42447aa0_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/50037a4ca4deb96b0fec2fd5dc78087ee051dc1ab9de10cd711abd7f42447aa0_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Mamy: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/3922eb6f4bb6ab656bb9ca41889eff6045ab4a923295cb087d5eb18abee80348_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/3922eb6f4bb6ab656bb9ca41889eff6045ab4a923295cb087d5eb18abee80348_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Zatem z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa wynika, że PQ||AC. <hr> Punkty R i S są środkami boków CD i DA, więc: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a2b2c1e304406ad1e924de3ccc82576f5b19d8d848e10609f23918ea97578eb5_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a2b2c1e304406ad1e924de3ccc82576f5b19d8d848e10609f23918ea97578eb5_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a64edcbaa2fe30f471004085466c02b2334e8f079c24bc534688eb5b3b070d69_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a64edcbaa2fe30f471004085466c02b2334e8f079c24bc534688eb5b3b070d69_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Mamy: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/72d560638c723bca45c8fa1f556eed46d815f4d0a11c61537cba2bb8057d6a92_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/72d560638c723bca45c8fa1f556eed46d815f4d0a11c61537cba2bb8057d6a92_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Zatem z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa wynika, że RS||AC. <hr> PQ||AC i RS||AC, więc PQ||RS. <hr> Punkty Q i R są środkami boków BC i CD, więc: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/9d7dbe879fe8871ea631161834e89f8160da42d7130f55287f68fde1bb427840_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/9d7dbe879fe8871ea631161834e89f8160da42d7130f55287f68fde1bb427840_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d1b68ee3f3c471cff2acdb68563dc1bead53516c2ac6d88459771f3e529a7874_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d1b68ee3f3c471cff2acdb68563dc1bead53516c2ac6d88459771f3e529a7874_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Mamy: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8dd520027b454caa685020feff9a4dbe316b666bfc774768dacf8c26289415e2_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8dd520027b454caa685020feff9a4dbe316b666bfc774768dacf8c26289415e2_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Zatem z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa wynika, że QR||BD. <hr> Punkty S i P są środkami boków DA i AB, więc: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a765d71defe151c8aef12006a7c40fac09bcf569fb8f108be8613ac23341b2c5_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a765d71defe151c8aef12006a7c40fac09bcf569fb8f108be8613ac23341b2c5_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/7e2f85ea1acd292f15a06e8fae5ea03ec7513d3c859e9b5946e4b202afb30a60_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/7e2f85ea1acd292f15a06e8fae5ea03ec7513d3c859e9b5946e4b202afb30a60_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Mamy: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/da43229a51ec0d1b2c0e4dc9a908f78aa7fcab23803e903ff9d2c3301ccd517f_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/da43229a51ec0d1b2c0e4dc9a908f78aa7fcab23803e903ff9d2c3301ccd517f_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Zatem z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa wynika, że PS||BD. <hr> QR||BD i PS||BD, więc QR||PS. <hr> PQ||RS i QR||PS, więc czworokąt PQRS ma dwie pary boków równoległych (czyli jest równoległobokiem). &nbsp; c.n.d.

Komentarze