$\text{a)}\sqrt{x^2-5x}\ge 4x$  

 

Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$x^2-5x\ge 0$  

$x\left(x-5\right)\ge 0$  

$x_1=0\vee x_2=5$  

$D=(-\infty ,0⟩\cup ⟨5,+\infty )$  

Zauważmy, że wyrażenie po prawej stronie nierówności, czyli  $4x$  może przyjmować wartość nieujemną lub ujemną.

Rozważamy więc dwa przypadki:

 

$1)4x<0,$  czyli  $x<0$  

Wówczas nierówność jest zawsze spełniona, czyli dla każdego  $x\in D\wedge x<0.$  

Mamy więc:

$x\in (-\infty ,0⟩\cup ⟨5,+\infty )\wedge x\in \left(-\infty ,0\right)$  

$x\in \left(-\infty ,0\right)$  

 

$2)4x\ge 0,$  czyli  $x\ge 0$  

Wówczas obie strony nierówności są nieujemne, więc możemy je podnieść do kwadratu.

$\sqrt{x^2-5x}\ge 4x{\text{/}}^2$  

$x^2-5x\ge 16x^2$  

$-15x^2-5x\ge 0\mid :\left(-5\right)$  

$3x^2+x\le 0$  

$x\left(3x+1\right)\le 0$

$x=0\text{lub}x=-\frac{1}{3}$

  

$x\in ⟨-\frac{1}{3},0⟩\wedge x\ge 0$  

$x=0$  

 

Po zsumowaniu rozwiązań otrzymujemy:

$x\in (-\infty ,0⟩$  

---

$\text{b)}\sqrt{9-x^2}\le x$  

 

Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$9-x^2\ge 0$  

$\left(3-x\right)\left(3+x\right)\ge 0$  

$x_1=3\vee x_2=-3$  

$D=⟨-3,3⟩$  

Zauważmy, że wyrażenie po prawej stronie nierówności, czyli  $x$  może przyjmować wartość nieujemną lub ujemną.

Rozważamy więc dwa przypadki:

$1)x<0$  

Wówczas nierówność jest sprzeczna.

$2)x\ge 0$  

Wówczas obie strony nierówności są nieujemne, więc możemy je podnieść do kwadratu.

$\sqrt{9-x^2}\le x{\text{/}}^2$  

$9-x^2\le x^2$  

$-2x^2\le -9$  

$x^2\ge \frac{9}{2}$  

$\left|x\right|\ge \frac{3}{\sqrt{2}}$  

$x\ge \frac{3}{\sqrt{2}}\vee x\le -\frac{3}{\sqrt{2}}$  

$x\in (-\infty ,-\frac{3}{\sqrt{2}}⟩\cup ⟨\frac{3}{\sqrt{2}},+\infty )$  

 

czyli dla każdego  $x\in D\wedge x\ge 0.$  

Mamy więc:

$x\in ⟨0,3⟩\wedge x\in (-\infty ,-\frac{3}{\sqrt{2}}⟩\cup ⟨\frac{3}{\sqrt{2}},+\infty )$  

$x\in ⟨\frac{3}{\sqrt{2}},3⟩$  

 

Po zsumowaniu rozwiązań otrzymujemy:

$x\in ⟨\frac{3\sqrt{2}}{2},3⟩$  

---

$\text{c)}\sqrt{\left(x+7\right)\left(x+1\right)}-3>x$  

$\sqrt{\left(x+7\right)\left(x+1\right)}>x+3$  

Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$\left(x+7\right)\left(x+1\right)\ge 0$  

$D=(-\infty ,-7⟩\cup ⟨-1,+\infty )$  

 

Zauważmy, że wyrażenie po prawej stronie nierówności, czyli  $x+3$  może przyjmować wartość nieujemną lub ujemną.

Rozważamy więc dwa przypadki:

$1)x+3<0,$  czyli  $x<-3$  

Wówczas nierówność jest zawsze spełniona, czyli dla każdego  $x\in D\wedge x<-3.$  

Mamy więc:

$x\in (-\infty ,-7⟩\cup ⟨-1,+\infty )\wedge x\in \left(-\infty ,-3\right)$  

$x\in (-\infty ,-7⟩$  

 

$2)x+3\ge 0,$  czyli  $x\ge -3$  

Wówczas obie strony nierówności są nieujemne, więc możemy je podnieść do kwadratu.

$\sqrt{\left(x+7\right)\left(x+1\right)}>x+3{\text{/}}^2$  

$\left(x+7\right)\left(x+1\right)>x^2+6x+9$  

$x^2+8x+7>x^2+6x+9$  

$2x>2\text{/}:2$  

$x>1$  

$x\in \left(1,+\infty \right)$  

 

Po zsumowaniu rozwiązań otrzymujemy:

$x\in (-\infty ,-7⟩\cup \left(1,+\infty \right)$  

---

$\text{d)}\sqrt{x^2+4x-5}+x\ge 7$  

$\sqrt{x^2+4x-5}\ge 7-x$  

Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$x^2+4x-5\ge 0$  

$\Delta =16+20=36,\sqrt{\Delta }=6$  

$x_1=\frac{-4-6}{2}=-5\vee x_2=\frac{-4+6}{2}=1$  

$D=(-\infty ,-5⟩\cup ⟨1,+\infty )$  

Zauważmy, że wyrażenie po prawej stronie nierówności, czyli  $7-x$  może przyjmować wartość nieujemną lub ujemną.

Rozważamy więc dwa przypadki:

$1)7-x<0,$  czyli  $x>7$  

Wówczas nierówność jest zawsze spełniona, czyli dla każdego  $x\in D\wedge x>7.$  

Mamy więc:

$x\in (-\infty ,-5⟩\cup ⟨1,+\infty )\wedge x\in \left(7,+\infty \right)$  

$x\in \left(7,+\infty \right)$  

 

$2)7-x\ge 0,$  czyli  $x\le 7$  

Wówczas obie strony nierówności są nieujemne, więc możemy je podnieść do kwadratu.

$\sqrt{x^2+4x-5}\ge 7-x{\text{/}}^2$  

$x^2+4x-5\ge 49-14x+x^2$  

$18x\ge 54\text{/}:18$  

$x\ge 3$  

$x\in ⟨3,+\infty )$  

 

Po zsumowaniu rozwiązań otrzymujemy:

$x\in ⟨3,+\infty )$  

---

$\text{e)}x>\sqrt{x^2+x-2}$  

$\sqrt{x^2+x-2}<x$

 

Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$x^2+x-2\ge 0$  

$\Delta =1+8=9,\sqrt{\Delta }=3$  

$x_1=\frac{-1-3}{2}=-2\vee x_2=\frac{-1+3}{2}=1$  

$D=(-\infty ,-2⟩\cup ⟨1,+\infty )$  

Zauważmy, że wyrażenie po prawej stronie nierówności, czyli  $x$  może przyjmować wartość nieujemną lub ujemną.

Rozważamy więc dwa przypadki:

$1)x<0$  

Wówczas nierówność jest sprzeczna.  

 

$2)x\ge 0$

Wówczas obie strony nierówności są nieujemne, więc możemy je podnieść do kwadratu.

$\sqrt{x^2+x-2}<x{\text{/}}^2$  

$x^2+x-2<x^2$  

$x<2$  

$x\in \left(-\infty ,2\right)$  

 

Po zsumowaniu rozwiązań i uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy:

$x\in ⟨1,2)$  

---

$\text{f)}2x<1+\sqrt{4x^2+x-14}$  

$\sqrt{4x^2+x-14}>2x-1$  

Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$4x^2+x-14\ge 0$  

$\Delta =1+224=225,\sqrt{\Delta }=15$  

$x_1=\frac{-1-15}{8}=-2\vee x_2=\frac{-1+15}{8}=\frac{7}{4}=1\frac{3}{4}$  

$D=(-\infty ,-2⟩\cup ⟨1\frac{3}{4},+\infty )$  

Zauważmy, że wyrażenie po prawej stronie nierówności, czyli  $2x-1$  może przyjmować wartość nieujemną lub ujemną.

Rozważamy więc dwa przypadki:

$1)2x-1<0,$  czyli  $x<\frac{1}{2}$  

Wówczas nierówność jest zawsze spełniona, czyli dla każdego  $x\in D\wedge x<\frac{1}{2}.$  

Mamy więc:

$x\in (-\infty ,-2⟩\cup ⟨1\frac{3}{4},+\infty )\wedge x\in \left(-\infty ,\frac{1}{2}\right)$  

$x\in (-\infty ,-2⟩$  

 

$2)2x-1\ge 0,$  czyli  $x\ge \frac{1}{2}$  

Wówczas obie strony nierówności są nieujemne, więc możemy je podnieść do kwadratu.

$\sqrt{4x^2+x-14}>2x-1{\text{/}}^2$  

$4x^2+x-14>4x^2-4x+1$  

$5x>15\text{/}:5$  

$x>3$  

$x\in \left(3,+\infty \right)$  

 

Po zsumowaniu rozwiązań otrzymujemy:

$x\in (-\infty ,-2⟩\cup \left(3,+\infty \right)$