Rozwiąż nierówność...- Zadanie 3.197: Matematyka 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

$a) x^{2} - 5 x \geq 4 x$

Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$x^{2} - 5 x \geq 0$

$x (x - 5) \geq 0$

$x_{1} = 0 \lor x_{2} = 5$

$D = (- \infty, 0 ⟩ \cup ⟨ 5, + \infty)$

Zauważmy, że wyrażenie po prawej stronie nierówności, czyli $4 x$ może przyjmować wartość nieujemną lub ujemną.

Rozważamy więc dwa przypadki:

$1) 4 x < 0,$ czyli $x < 0$

Wówczas nierówność jest zawsze spełniona, czyli dla każdego $x \in D \land x < 0 .$

Mamy więc:

$x \in (- \infty, 0 ⟩ \cup ⟨ 5, + \infty) \land x \in (- \infty, 0)$

$x \in (- \infty, 0)$

$2) 4 x \geq 0,$ czyli $x \geq 0$

Wówczas obie strony nierówności są nieujemne, więc możemy je podnieść do kwadratu.

$x^{2} - 5 x \geq 4 x /^{2}$

$x^{2} - 5 x \geq 16 x^{2}$

$- 15 x^{2} - 5 x \geq 0 ∣ : (- 5)$

$3 x^{2} + x \leq 0$

$x (3 x + 1) \leq 0$

$x = 0 lub x = - \frac{1}{3}$

$x \in ⟨ - \frac{1}{3}, 0 ⟩ \land x \geq 0$

$x = 0$

Po zsumowaniu rozwiązań otrzymujemy:

$x \in (- \infty, 0 ⟩$

$b) 9 - x^{2} \leq x$

Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$9 - x^{2} \geq 0$

$(3 - x) (3 + x) \geq 0$

$x_{1} = 3 \lor x_{2} = - 3$

$D = ⟨ - 3, 3 ⟩$

Zauważmy, że wyrażenie po prawej stronie nierówności, czyli $x$ może przyjmować wartość nieujemną lub ujemną.

Rozważamy więc dwa przypadki:

$1) x < 0$

Wówczas nierówność jest sprzeczna.

$2) x \geq 0$

Wówczas obie strony nierówności są nieujemne, więc możemy je podnieść do kwadratu.

$9 - x^{2} \leq x /^{2}$

$9 - x^{2} \leq x^{2}$

$- 2 x^{2} \leq - 9$

$x^{2} \geq \frac{9}{2}$

$∣ x ∣ \geq \frac{3}{2}$

$x \geq \frac{3}{2} \lor x \leq - \frac{3}{2}$

$x \in (- \infty, - \frac{3}{2} ⟩ \cup ⟨ \frac{3}{2}, + \infty)$

czyli dla każdego $x \in D \land x \geq 0 .$

Mamy więc:

$x \in ⟨ 0, 3 ⟩ \land x \in (- \infty, - \frac{3}{2} ⟩ \cup ⟨ \frac{3}{2}, + \infty)$

$x \in ⟨ \frac{3}{2}, 3 ⟩$

Po zsumowaniu rozwiązań otrzymujemy:

$x \in ⟨ \frac{3 2}{2}, 3 ⟩$

$c) (x + 7) (x + 1) - 3 > x$

$(x + 7) (x + 1) > x + 3$

Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$(x + 7) (x + 1) \geq 0$

$D = (- \infty, - 7 ⟩ \cup ⟨ - 1, + \infty)$

Zauważmy, że wyrażenie po prawej stronie nierówności, czyli $x + 3$ może przyjmować wartość nieujemną lub ujemną.

Rozważamy więc dwa przypadki:

$1) x + 3 < 0,$ czyli $x < - 3$

Wówczas nierówność jest zawsze spełniona, czyli dla każdego $x \in D \land x < - 3 .$

Mamy więc:

$x \in (- \infty, - 7 ⟩ \cup ⟨ - 1, + \infty) \land x \in (- \infty, - 3)$

$x \in (- \infty, - 7 ⟩$

$2) x + 3 \geq 0,$ czyli $x \geq - 3$

Wówczas obie strony nierówności są nieujemne, więc możemy je podnieść do kwadratu.

$(x + 7) (x + 1) > x + 3 /^{2}$

$(x + 7) (x + 1) > x^{2} + 6 x + 9$

$x^{2} + 8 x + 7 > x^{2} + 6 x + 9$

$2 x > 2 / : 2$

$x > 1$

$x \in (1, + \infty)$

Po zsumowaniu rozwiązań otrzymujemy:

$x \in (- \infty, - 7 ⟩ \cup (1, + \infty)$

$d) x^{2} + 4 x - 5 + x \geq 7$

$x^{2} + 4 x - 5 \geq 7 - x$

Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$x^{2} + 4 x - 5 \geq 0$

$Δ = 16 + 20 = 36, Δ = 6$

$x_{1} = \frac{- 4 - 6}{2} = - 5 \lor x_{2} = \frac{- 4 + 6}{2} = 1$

$D = (- \infty, - 5 ⟩ \cup ⟨ 1, + \infty)$

Zauważmy, że wyrażenie po prawej stronie nierówności, czyli $7 - x$ może przyjmować wartość nieujemną lub ujemną.

Rozważamy więc dwa przypadki:

$1) 7 - x < 0,$ czyli $x > 7$

Wówczas nierówność jest zawsze spełniona, czyli dla każdego $x \in D \land x > 7 .$

Mamy więc:

$x \in (- \infty, - 5 ⟩ \cup ⟨ 1, + \infty) \land x \in (7, + \infty)$

$x \in (7, + \infty)$

$2) 7 - x \geq 0,$ czyli $x \leq 7$

Wówczas obie strony nierówności są nieujemne, więc możemy je podnieść do kwadratu.

$x^{2} + 4 x - 5 \geq 7 - x /^{2}$

$x^{2} + 4 x - 5 \geq 49 - 14 x + x^{2}$

$18 x \geq 54 / : 18$

$x \geq 3$

$x \in ⟨ 3, + \infty)$

Po zsumowaniu rozwiązań otrzymujemy:

$x \in ⟨ 3, + \infty)$

$e) x > x^{2} + x - 2$

$x^{2} + x - 2 < x$

Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$x^{2} + x - 2 \geq 0$

$Δ = 1 + 8 = 9, Δ = 3$

$x_{1} = \frac{- 1 - 3}{2} = - 2 \lor x_{2} = \frac{- 1 + 3}{2} = 1$

$D = (- \infty, - 2 ⟩ \cup ⟨ 1, + \infty)$

Zauważmy, że wyrażenie po prawej stronie nierówności, czyli $x$ może przyjmować wartość nieujemną lub ujemną.

Rozważamy więc dwa przypadki:

$1) x < 0$

Wówczas nierówność jest sprzeczna.

$2) x \geq 0$

Wówczas obie strony nierówności są nieujemne, więc możemy je podnieść do kwadratu.

$x^{2} + x - 2 < x /^{2}$

$x^{2} + x - 2 < x^{2}$

$x < 2$

$x \in (- \infty, 2)$

Po zsumowaniu rozwiązań i uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy:

$x \in ⟨ 1, 2)$

$f) 2 x < 1 + 4 x^{2} + x - 14$

$4 x^{2} + x - 14 > 2 x - 1$

Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$4 x^{2} + x - 14 \geq 0$

$Δ = 1 + 224 = 225, Δ = 15$

$x_{1} = \frac{- 1 - 15}{8} = - 2 \lor x_{2} = \frac{- 1 + 15}{8} = \frac{7}{4} = 1 \frac{3}{4}$

Thumb zad2.169dstr83

$D = (- \infty, - 2 ⟩ \cup ⟨ 1 \frac{3}{4}, + \infty)$

Zauważmy, że wyrażenie po prawej stronie nierówności, czyli $2 x - 1$ może przyjmować wartość nieujemną lub ujemną.

Rozważamy więc dwa przypadki:

$1) 2 x - 1 < 0,$ czyli $x < \frac{1}{2}$

Wówczas nierówność jest zawsze spełniona, czyli dla każdego $x \in D \land x < \frac{1}{2} .$

Mamy więc:

$x \in (- \infty, - 2 ⟩ \cup ⟨ 1 \frac{3}{4}, + \infty) \land x \in (- \infty, \frac{1}{2})$

$x \in (- \infty, - 2 ⟩$

$2) 2 x - 1 \geq 0,$ czyli $x \geq \frac{1}{2}$

Wówczas obie strony nierówności są nieujemne, więc możemy je podnieść do kwadratu.

$4 x^{2} + x - 14 > 2 x - 1 /^{2}$

$4 x^{2} + x - 14 > 4 x^{2} - 4 x + 1$

$5 x > 15 / : 5$

$x > 3$

$x \in (3, + \infty)$

Po zsumowaniu rozwiązań otrzymujemy:

$x \in (- \infty, - 2 ⟩ \cup (3, + \infty)$

Aleksandra Filipowska

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Podstawowe pojęcia dotyczące nierówności

Premium

14:18

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Zadania optymalizacyjne - algebra (2)

Premium

9:18

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Własności funkcji kwadratowej

15:15

Zobacz lekcję

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.