$\text{a)}\sqrt{1-3x}=-x-3$  

$\sqrt{1-3x}=-x-3\text{|}{}^2$  

$1-3x={\left(-\left(x+3\right)\right)}^2$

$1-3x={\left(x+3\right)}^2$   

$1-3x=x^2+6x+9$   

$x^2+9x+8=0$  

$\Delta =9^2-4\cdot 8=81-32=49,\sqrt{\Delta }=7$  

$x_1=\frac{-9-7}{2}=-8\vee x_2=\frac{-9+7}{2}=-1$  

Nie wyznaczaliśmy dziedziny, więc należy teraz sprawdzić, czy po podstawieniu otrzymanych rozwiązań

do równania początkowego otrzymamy równość.  

Dla $x=x_1:$  

$\sqrt{1-3\cdot \left(-8\right)}=\sqrt{1+24}=\sqrt{25}=5=-\left(-8\right)-3=8-3$  

Dla $x=x_2:$  

$\sqrt{1-3\cdot \left(-1\right)}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2\ne -\left(-1\right)-3=-2$  

Zatem rozwiązaniem równania jest tylko  $x=-8.$  

---

$\text{b)}\sqrt{x+\sqrt{140+x}}=4\mid {}^2$

$x+\sqrt{140+x}=16$  

$\sqrt{140+x}=16-x\text{|}{}^2$  

$140+x=256-32x+x^2$  

$x^2-33x+116=0$  

$\Delta ={33}^2+4\cdot 116=1089-464=625,\sqrt{\Delta }=25$  

$x_1=\frac{33-25}{2}=4\vee x_2=\frac{33+25}{2}=29$  

Nie wyznaczaliśmy dziedziny, więc należy teraz sprawdzić, czy po podstawieniu otrzymanych rozwiązań

do równania początkowego otrzymamy równość.

Dla $x=x_1:$  

$\sqrt{4+\sqrt{140+4}}=\sqrt{4+\sqrt{144}}=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4$  

Dla $x=x_2:$  

$\sqrt{29+\sqrt{140+29}}=\sqrt{29+\sqrt{169}}=\sqrt{29+13}=\sqrt{42}\ne 4$  

Zatem rozwiązaniem jest tylko $x=4.$  

---

$\text{c)}3\left(x+2\right)=\sqrt{22-9x}$  

$3\left(x+2\right)=\sqrt{22-9x}\text{|}{}^2$  

$9\left(x^2+4x+4\right)=22-9x$  

$9x^2+36x+36=22-9x$  

$9x^2+45x+14=0$  

$\Delta ={45}^2-4\cdot 9\cdot 14=2025-504=1521,\sqrt{\Delta }=39$  

$x_1=\frac{-45-39}{18}=-\frac{84}{18}=-\frac{42}{9}\vee x_2=\frac{-45+39}{18}=-\frac{6}{18}=-\frac{1}{3}$  

$x=-\frac{1}{3}$  

Nie wyznaczaliśmy dziedziny, więc należy teraz sprawdzić, czy po podstawieniu otrzymanych rozwiązań

do równania początkowego otrzymamy równość.

Dla $x=x_1:$  

$3\cdot \left(-\frac{42}{9}+2\right)=-14+6=-8\ne \sqrt{22-9\cdot \frac{-42}{9}}$  

Dla $x=x_2:$  

$3\cdot \left(-\frac{1}{3}+2\right)=-1+6=5=\sqrt{22-9\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}$  

Zatem rozwiązaniem jest tylko $x=-\frac{1}{3}.$  

---

$\text{d)}\sqrt{x-1+\sqrt{x+2}}=3\text{|}{}^2$  

$x-1+\sqrt{x+2}=9$  

$\sqrt{x+2}=10-x{\text{/}}^2$  

$x+2=100-20x+x^2$  

$x^2-21x+98=0$  

$\Delta ={21}^2-4\cdot 98=441-392=49,\sqrt{\Delta }=7$  

$x_1=\frac{21-7}{2}=7\vee x_2=\frac{21+7}{2}=14$  

Nie wyznaczaliśmy dziedziny, więc należy teraz sprawdzić, czy po podstawieniu otrzymanych rozwiązań

do równania początkowego otrzymamy równość.

Dla $x=x_1:$  

$\sqrt{7-1+\sqrt{7+2}}=\sqrt{6+\sqrt{9}})=\sqrt{6+3}=\sqrt{9}=3$  

Dla $x=x_2:$  

$\sqrt{14-1+\sqrt{14+2}}=\sqrt{13+\sqrt{16}}=\sqrt{13+4}=\sqrt{17}\ne 3$  

Zatem rozwiązaniem jest tylko $x=7.$  

---

$\text{e)}\sqrt{x+1-\sqrt{x-3}}=2\text{|}{}^2$  

$x+1-\sqrt{x-3}=4$  

$x-3=\sqrt{x-3}{\text{|}}^2$  

$x^2-6x+9=x-3$  

$x^2-7x+12=0$  

$\Delta =7^2-4\cdot 12=49-48=1$  

$x_1=\frac{7-1}{2}=3\vee x_2=\frac{7+1}{2}=4$  

Nie wyznaczaliśmy dziedziny, więc należy teraz sprawdzić, czy po podstawieniu otrzymanych rozwiązań

do równania początkowego otrzymamy równość.

Dla $x=x_1:$  

$\sqrt{3+1-\sqrt{3-3}}=\sqrt{4}=2$  

Dla $x=x_2:$  

$\sqrt{4+1-\sqrt{4-3}}=\sqrt{4}=2$  

Zatem rozwiązaniami są $x\in \left\{3,4\right\}.$  

---

$\text{f)}\sqrt{3-4x}=2x$  

$\sqrt{3-4x}=2x\text{|}{}^2$  

$3-4x=4x^2$  

$4x^2+4x-3=0$  

$\Delta =4^2+4\cdot 4\cdot 3=16+16\cdot 3=16\cdot 4=64,\sqrt{\Delta }=8$  

$x_1=\frac{-4-8}{8}=-\frac{12}{8}=-\frac{3}{2}\vee x_2=\frac{-4+8}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$  

Nie wyznaczaliśmy dziedziny, więc należy teraz sprawdzić, czy po podstawieniu otrzymanych rozwiązań

do równania początkowego otrzymamy równość.

Dla $x=x_1:$  

$\sqrt{3-4\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)}=\sqrt{3+6}=\sqrt{9}=3\ne 2\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)$  

Dla $x=x_2:$  

$\sqrt{3-4\cdot \frac{1}{2}}=\sqrt{3-2}=\sqrt{1}=1=2\cdot \frac{1}{2}$  

Zatem rozwiązaniem jest tylko $x=\frac{1}{2}$