$a) a = 6, b = 2, β = 45^{\circ}$

Korzystamy z twierdzenia sinusów, aby obliczyć miarę kąta 𝛼:

$\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β}$

$\frac{6}{sin α} = \frac{2}{sin 45 ^{\circ}}$

$\frac{6}{sin α} = \frac{2}{\frac{2}{2}}$

$\frac{6}{sin α} = \frac{4}{2}$

$\frac{6}{sin α} = \frac{4 \cdot 2}{2}$

$\frac{6}{sin α} = 22$

$6 = 22 \cdot sin α$

$sin α = \frac{6}{2 2}$

$sin α = \frac{12}{4}$

$sin α = \frac{3}{2}$

więc:

$α_{1} = 60^{\circ} \lor α_{2} = 120^{\circ}$

ponieważ:

$sin α = sin (180^{\circ} - α)$

Suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi 180^o, zatem możemy obliczyć miarę kąta 𝛾:

$γ_{1} = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 60^{\circ} = 75^{\circ}$

$γ_{2} = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 120^{\circ} = 15^{\circ}$

Obliczmy długość boku c:

Sposób I:

Korzystamy z twierdzenia cosinusów:

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cdot cos β$

$2^{2} = 6^{2} + c^{2} - 26 c \cdot cos 45^{\circ}$

$4 = 6 + c^{2} - 26 c \cdot \frac{2}{2}$

$4 = 6 + c^{2} - 12 c$

$c^{2} - 23 c + 2 = 0$

$Δ = (- 23)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 12 - 8 = 4, Δ = 2$

$c_{1} = \frac{2 3 - 2}{2} = 3 - 1 > 0$

$c_{2} = \frac{2 3 + 2}{2} = 3 + 1 > 0$

Uwaga: Jako ciekawostkę do rozwiązania podpunktu a) dodajemy drugi (nieco bardziej skomplikowany) sposób rozwiązania

Sposób II:

Przypadek I:

Zauważmy, że:

zatem:

$\frac{\frac{a}{3} + a}{sin 75 ^{\circ}} = \frac{a 2}{sin 60 ^{\circ}}$

$\frac{\frac{a}{3} + \frac{3 a}{3}}{sin 75 ^{\circ}} = \frac{a 2}{\frac{3}{2}}$

$\frac{\frac{a + 3 a}{3}}{sin 75 ^{\circ}} = \frac{2 a 2}{3}$

$\frac{a + 3 a}{sin 75 ^{\circ}} = 2 a 2$

$a (1 + 3) = 2 a 2 \cdot sin 75^{\circ}$

$(1 + 3) = 22 \cdot sin 75^{\circ}$

$sin 75^{\circ} = \frac{1 + 3}{2 2}$

$sin 75^{\circ} = \frac{2 + 6}{4}$

Korzystamy z twierdzenia sinusów:

$\frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ}$

$\frac{2}{sin 45 ^{\circ}} = \frac{c}{sin 75 ^{\circ}}$

$\frac{2}{\frac{2}{2}} = \frac{c}{sin 75 ^{\circ}}$

$\frac{4}{2} = \frac{c}{\frac{6 + 2}{4}}$

$\frac{4}{2} = \frac{4 c}{6 + 2}$

$\frac{1}{2} = \frac{c}{6 + 2}$

$2 c = 6 + 2$

$c = \frac{6 + 2}{2}$

$c = \frac{12 + 2}{2}$

$c = \frac{2 3 + 2}{2}$

$c = 3 + 1$

Przypadek II:

$\frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ}$

$\frac{2}{sin 45 ^{\circ}} = \frac{c}{sin 15 ^{\circ}}$

$\frac{2}{\frac{2}{2}} = \frac{c}{sin ( 90 ^{\circ} - 75 ^{\circ} )}$

$\frac{2}{\frac{2}{2}} = \frac{c}{cos 75 ^{\circ}}$

Korzystając jedynki trygonometrycznej obliczmy wartość cos75^o:

$sin^{2} 75^{\circ} + cos^{2} 75^{\circ} = 1$

$(\frac{6 + 2}{4})^{2} + cos^{2} 75^{\circ} = 1$

$\frac{6 + 2 12 + 2}{16} + cos^{2} 75^{\circ} = 1$

$\frac{8 + 4 3}{16} + cos^{2} 75^{\circ} = 1$

$\frac{2 + 3}{4} + cos^{2} 75^{\circ} = 1$

$cos^{2} 75^{\circ} = 1 - \frac{2 + 3}{4}$

$cos^{2} 75^{\circ} = \frac{2 - 3}{4}$

$cos 75^{\circ} = \frac{2 - 3}{2}$

więc:

$\frac{4}{2} = \frac{c}{\frac{2 - 3}{2}}$

$\frac{4}{2} = \frac{2 c}{2 - 3}$

$\frac{2}{2} = \frac{c}{2 - 3}$

$2 c = 2 (2 - 3)$

$c = \frac{2 \cdot 2 - 3}{2}$

$c = \frac{2 2 \cdot 2 - 3}{2}$

$c = 4 - 23$

$c = 3 - 23 + 1$

$c = (3 - 1)^{2}$

$c = 3 - 1$

Odp.: Długość boku c wynosi √3+1 i wówczas 𝛼=75^o, a𝛾=60^o lub Długość boku c wynosi √3-1 i wówczas 𝛼=15^o , a𝛾=120^o.

$b) a = 2, b = 2, α = 45^{\circ}$

Korzystamy z twierdzenia sinusów, aby obliczyć miarę kąta 𝛽 :

$\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β}$

$\frac{2}{sin 45 ^{\circ}} = \frac{2}{sin β}$

$\frac{2}{\frac{2}{2}} = \frac{2}{sin β}$

$\frac{4}{2} = \frac{2}{sin β}$

$\frac{4 2}{2} = \frac{2}{sin β}$

$22 = \frac{2}{sin β}$

$2 = \frac{1}{sin β}$

$2 sin β = 1$

$sin β = \frac{1}{2}$

więc:

$β_{1} = 30^{\circ} \lor β_{2} = 150^{\circ}$

(drugi wariant odrzucamy, ponieważ suma miar kątów w każdym trójkącie wynosi 180o, natomiast 45^o+150^o>180^o)

Suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi 180^o, zatem możemy obliczyć miarę kąta 𝛾:

$γ_{1} = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 30^{\circ} = 105^{\circ}$

Obliczmy długość boku c:

Korzystamy z twierdzenia cosinusów:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot cos α$

$2^{2} = 2^{2} + c^{2} - 22 c \cdot cos 45^{\circ}$

$4 = 2 + c^{2} - 22 c \cdot \frac{2}{2}$

$4 = 2 + c^{2} - 2 c$

$c^{2} - 2 c - 2 = 0$

$Δ = (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 4 + 8 = 12, Δ = 23$

$c_{1} = \frac{2 - 2 3}{2} = 1 - 3 < 0$

$c_{2} = \frac{2 + 2 3}{2} = 1 + 3 > 0$

zatem:

$c = 1 + 3$

Odp.: Długość boku c wynosi 1+√3 i wówczas 𝛽=30^o, a𝛾=105^o .

$c) R = c = 5, α = 60^{\circ}$

Korzystamy z twierdzenia sinusów, aby obliczyć długość boku a:

$\frac{a}{sin 60 ^{\circ}} = 2 R$

$\frac{a}{\frac{3}{2}} = 2 \cdot 5$

$\frac{2 a}{3} = 10$

$\frac{a}{3} = 5$

$a = 53$

Korzystamy z twierdzenia sinusów, aby obliczyć miarę kąta 𝛾:

$\frac{c}{sin γ} = 2 R$

$\frac{5}{sin γ} = 2 \cdot 5$

$\frac{1}{sin γ} = 2$

$1 = 2 sin γ$

$sin γ = \frac{1}{2}$

$γ_{1} = 30^{\circ} \lor γ_{1} = 150^{\circ}$

(drugi wariant odrzucamy, ponieważ suma miar kątów w każdym trójkącie wynosi 180^o, natomiast 60^o+150^o>180^o)

Suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi 180^o, zatem możemy obliczyć miarę kąta 𝛽 :

$β_{1} = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 30^{\circ} = 90^{\circ}$

zatem trójkąt ten jest prostokątny o kątach ostrych 30^o i 60^o, więc:

$b = 2 \cdot c = 2 \cdot 5 = 10$

Odp.: Długość boku a wynosi 5√3, natomiast długość boku b wynosi 10 i wówczas 𝛽=90^o , a 𝛾=30^o .

$d) R = 3, a = 27, β = 45^{\circ}, c < b$

Korzystamy z twierdzenia sinusów, aby obliczyć długość boku b:

$\frac{b}{sin β} = 2 R$

$\frac{b}{sin 45 ^{\circ}} = 2 \cdot 3$

$\frac{b}{\frac{2}{2}} = 6$

$\frac{2 b}{2} = 6$

$\frac{b}{2} = 3$

$b = 32$

Korzystamy z twierdzenia sinusów, aby obliczyć miarę kąta 𝛼:

$\frac{a}{sin α} = 2 R$

$\frac{27}{sin α} = 2 \cdot 3$

$\frac{3 3}{sin α} = 6$

$\frac{3}{sin α} = 2$

$3 = 2 sin α$

$sin α = \frac{3}{2}$

$α_{1} = 60^{\circ} \lor α_{1} = 120^{\circ}$

(pierwszy wariant odrzucamy, ponieważ w każdym trójkącie największy kąt leży naprzeciw najdłuższego boku, a wiemy, że c<b)

Suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi 180^o, zatem możemy obliczyć miarę kąta 𝛾 :

$γ_{1} = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 120^{\circ} = 15^{\circ}$

Obliczmy długość boku c:

Korzystamy z twierdzenia cosinusów:

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cdot cos β$

$(32)^{2} = 27^{2} + c^{2} - 2 \cdot 27 c \cdot cos 45^{\circ}$

$18 = 27 + c^{2} - 2 \cdot 27 c \cdot \frac{2}{2}$

$18 = 27 + c^{2} - 54 c$

$0 = 9 + c^{2} - 54 c$

zatem:

$c^{2} - 36 c + 9$

$Δ = (- 36)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 54 - 36 = 18$

$Δ = 32$

$c_{1} = \frac{3 6 - 3 2}{2}$

Komentarze