Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Wyznaczamy b z tw. cosinusów dla trójkąta ABC:

${\left(b+6\right)}^2=b^2+8^2-2\cdot b\cdot 8\cdot \cos {120}^{\circ }$  

$\cancel{b^2}+12b+36=\cancel{b^2}+64-16b\cdot \cos \left({180}^{\circ }-{60}^{\circ }\right)$  

$12b+36=64-16b\cdot \left(-\cos {60}^{\circ }\right)$  

$12b=28+16b\cdot \frac{1}{2}$  

$12b=28+8b$  

$4b=28\mid :4$  

$b=7$  

---

Aby wyznaczyć miarę kąta $\alpha$, skorzystamy z własności kątów wpisanych i środkowych opartych na tym samym łuku. Nanieśmy na rysunek pomocnicze oznaczenia:

Kąty oparte na tym samym łuku oznaczyliśmy tym samym kolorem.

Kąt $\beta$ jest kątem środkowym, a kąt $120^{\circ }$ - kątem wpisanym (opartym na tym samym łuku), zatem:

$\beta =2\cdot 120^{\circ }=240^{\circ }$

Kąty $\beta$ i $\gamma$ tworzą kąt pełny, czyli:

$\gamma =360^{\circ }-\beta =120^{\circ }$

Kąt $\gamma$ jest kątem środkowym, a kąt $\alpha$ - kątem wpisanym (opartym na tym samym łuku), zatem:

$\alpha =\frac{1}{2}\gamma =60^{\circ }$

W takim razie trójkąt ACD jest równoramiennym trójkątem o kącie 60° między ramionami, a więc jest równoboczny. Stąd a = b + 6.

---

Obliczamy obwód czworokąta ABCD:

$O=2a+b+8=2\left(b+6\right)+b+8=2b+12+b+8=3b+20$  

$O=3\cdot 7+20=21+20=41$  

---

Odp. Obwód czworokąta ABCD jest równy 41.