II liceum

II technikum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Karty pracy ucznia zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 2. Poziom podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Poziom rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2.  Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 2. . Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Ćwiczenia podstawowe. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matura z Matematyki  2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 2

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 2

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Trapez jest wpisany w okrąg, więc jest równoramienny. Uzasadnienie: Na trapezie&nbsp;ABCD (gdzie AB||CD) można opisać okrąg, więc sumy miar przeciwległych kątów trapezu są równe: Stąd:

<table style="width: 100%;border-collapse: collapse;background-color: #dcdcdc;" border="0"> <tbody> <tr> <td style="width: 100%;">Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar przeciwległych kątów tego czworokąta są równe i mają po 180⁰.</td> </tr> </tbody> </table> <hr> Zgodnie z powyższym twierdzeniem, należy pokazać, że sumy miar przeciwległych kątów czworokąta KLMN są równe i mają po 180⁰. Suma miar kątów

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

<table style="width: 100%;border-collapse: collapse;background-color: #dcdcdc;" border="0"> <tbody> <tr> <td style="width: 100%;">Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar przeciwległych kątów tego czworokąta są równe i mają po 180⁰.</td> </tr> </tbody> </table> <hr> Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126539/4F8NWzrpgdGzaEYi1aH8HA%3D%3D_a07f7ef6ac90cb8ce6bf3ddcd22bc225414a081e9e8f9a9f3d8f497961f61934.jpg" alt="" width="274" height="271"> <hr> Kąty DCA i DBA to kąty wpisane oparte na tym samym łuku - mają więc równe miary: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/540849f1a81d67f82c1640d277add44e2c8e42b0486a68bfd9be9f115f2ce33e_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/540849f1a81d67f82c1640d277add44e2c8e42b0486a68bfd9be9f115f2ce33e_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Wówczas: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/9cc1d29feb37b47e5de473d8ac0f94a791215bf3441d63b92452da122c9c435f_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/9cc1d29feb37b47e5de473d8ac0f94a791215bf3441d63b92452da122c9c435f_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <hr> Czworokąt jest wpisany w okrąg, więc: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/244268aad36748139f453571647496fc0c81815ed084763aee786e4587a2c57d_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/244268aad36748139f453571647496fc0c81815ed084763aee786e4587a2c57d_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/053e951699e5b9ab99929175c6e06b11f2ba636bde5d4c35a40cf8a464cf63d6_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/053e951699e5b9ab99929175c6e06b11f2ba636bde5d4c35a40cf8a464cf63d6_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/55aa14fa2e8dadbc9f2255e1aad4efb131f7cfafd38d4af726891825cc00f869_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/55aa14fa2e8dadbc9f2255e1aad4efb131f7cfafd38d4af726891825cc00f869_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a77004388ed2552c5b62b10d5bbbfe26f36bea32c066cfcd64b47e7da83c2830_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a77004388ed2552c5b62b10d5bbbfe26f36bea32c066cfcd64b47e7da83c2830_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <hr> Z sumy kątów dla trójkąta BCP: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b859a3cc7c3af17b819c76ae511b53d3ae6e67ea863b4d3e72f45024a7d4e346_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b859a3cc7c3af17b819c76ae511b53d3ae6e67ea863b4d3e72f45024a7d4e346_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2fba4aa25d70ac296a2331947165e74b9ac386c33d5704a97791138c7d1bda03_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2fba4aa25d70ac296a2331947165e74b9ac386c33d5704a97791138c7d1bda03_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/9e10f39ae9dc456b072d9ef3ac5959108762648df78b60fefa2934ed12593b3a_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/9e10f39ae9dc456b072d9ef3ac5959108762648df78b60fefa2934ed12593b3a_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/640a88b38d2e6e961a4093cf5bc31c99a9583834c7038311ab9378a112f7b266_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/640a88b38d2e6e961a4093cf5bc31c99a9583834c7038311ab9378a112f7b266_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b0d934fcf5f0ccbb0b38b77596fdc66c044f63f58d8ba6868a0f0cbc5fc005ac_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b0d934fcf5f0ccbb0b38b77596fdc66c044f63f58d8ba6868a0f0cbc5fc005ac_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/691f18d77fccdb8d394b07a98174fe37216148f71e3719a57f6621ad5a3e4f48_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/691f18d77fccdb8d394b07a98174fe37216148f71e3719a57f6621ad5a3e4f48_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;

<table style="width: 100%;border-collapse: collapse;background-color: #dcdcdc;" border="0"> <tbody> <tr> <td style="width: 100%;">Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar przeciwległych kątów tego czworokąta są równe i mają po 180⁰.</td> </tr> </tbody> </table> <hr> Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126607/wCO5X80UuBZufd/ddAYlAA%3D%3D_e46e966e3978bebcaa90d7f01db012a7cb7673596fe44a2b39e3ecd549f31fca.jpg" alt="" width="348" height="304"> <hr> Na podstawie rysunku możemy zapisać, że: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/622f86c4f60ff092386079c64b917d03e7469bd9e40f91e4d475f912bd1a67e1_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/622f86c4f60ff092386079c64b917d03e7469bd9e40f91e4d475f912bd1a67e1_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/423135a32131d9515bbb62f2e74c6685fc81f0111f7f9ea8922ecc6b3c1882dd_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/423135a32131d9515bbb62f2e74c6685fc81f0111f7f9ea8922ecc6b3c1882dd_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <hr> Skorzystamy z twierdzenia o cięciwach: Jeśli w okręgu dwie cięciwy AD i BC przecinają się w punkcie P, to: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a524376f6d0ebecf19c5bea1088b8e6b8d81350c148126a8dbb80746417fab5e_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a524376f6d0ebecf19c5bea1088b8e6b8d81350c148126a8dbb80746417fab5e_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Podstawiamy |PD|=|PA|-x, |PC|=|PB|-x. <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b04480c21c861106ed9003016494da47155225f848e2989b8b2be77463e18771_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b04480c21c861106ed9003016494da47155225f848e2989b8b2be77463e18771_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/97c5e98b363c133122e2e0f60d03bae2da7fbf103a0320ac53a9f22b0740659c_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/97c5e98b363c133122e2e0f60d03bae2da7fbf103a0320ac53a9f22b0740659c_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a8afe2ac2e808a78d003c258aaac56b23f55f5fae1636c8314157692fb3da49b_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a8afe2ac2e808a78d003c258aaac56b23f55f5fae1636c8314157692fb3da49b_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/de874b5da0cd70bd73ad2cba82c4a4b54b5e41cceec39ad60eaa5445bff8bb17_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/de874b5da0cd70bd73ad2cba82c4a4b54b5e41cceec39ad60eaa5445bff8bb17_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f0990fc5ba9a57cb49b80c09d8b39405f4421f810e5c7e37a885323aba00473e_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f0990fc5ba9a57cb49b80c09d8b39405f4421f810e5c7e37a885323aba00473e_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias. <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2a8fbb678fc5272dfeadbddefc73df20c317f27953cf7d4c728cf842b3113d6e_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2a8fbb678fc5272dfeadbddefc73df20c317f27953cf7d4c728cf842b3113d6e_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/18e48a3aa55904ca48a92ae3fb33871bfa9341e22e5d86a5492f61eec001bcd7_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/18e48a3aa55904ca48a92ae3fb33871bfa9341e22e5d86a5492f61eec001bcd7_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ebbf94308729f3c49732b4c3b2a9dca0b6a09509dd25ffd38faa3c6383ccd3cb_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ebbf94308729f3c49732b4c3b2a9dca0b6a09509dd25ffd38faa3c6383ccd3cb_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Równanie |PA|+|PB|=x jest sprzeczne, ponieważ z rysunku wynika, że |PA|&gt;x, |PB|&gt;x. Otrzymujemy więc: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/10522e3e6ce1d056a038e6332d0d6c957fa5b69f480078b54034c315c6ab92f7_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/10522e3e6ce1d056a038e6332d0d6c957fa5b69f480078b54034c315c6ab92f7_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <hr> Równość |PA|=|PB| oznacza, że trójkąt ABP jest równoramienny i stąd: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/fe91407299dad964f0713f1343be763d1fd925febeeb73d169bae7e79d203f9a_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/fe91407299dad964f0713f1343be763d1fd925febeeb73d169bae7e79d203f9a_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Czworokąt jest wpisany w okrąg, więc: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a49981831ff18e1f6ca36019fff46e802cc162d86d095dbd155972ade265b7c1_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a49981831ff18e1f6ca36019fff46e802cc162d86d095dbd155972ade265b7c1_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/795c46509a7abcd2168d60f47c83da38697075a4f4f9c63ca7ded65ce46316d7_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/795c46509a7abcd2168d60f47c83da38697075a4f4f9c63ca7ded65ce46316d7_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Do pierwszego równania podstawiamy α=β, a do drugiego β=α. Otrzymujemy: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/e740b4c957dbf484725bf35791cac1dcae10e1b8e35446c74565930cc3af206c_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/e740b4c957dbf484725bf35791cac1dcae10e1b8e35446c74565930cc3af206c_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c04550d1ea53fe1ad6737e578784d894e03eb17265f62b635b0387ccddd6552e_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c04550d1ea53fe1ad6737e578784d894e03eb17265f62b635b0387ccddd6552e_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Powyższe równości mówią nam, że sumy miar kątów przy obu "ramionach" czworokąta wynoszą po 180⁰, a to oznacza, że czworokąt jest trapezem, co należało dowieść.

Komentarze