Skonstruuj trójkąt prostokątny ABC, mając daną różnicę ...- Zadanie 24: Matematyka 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

1. Różnica długości przyprostokątnych |AC|-|BC|=b-a.

2. Długość przeciwprostokątnej |AB|=c.

Przyjmijmy, że:

$b - a = s$

Trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny, więc na mocy twierdzenia Pitagorasa:

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Możemy więc zapisać:

${b - a = s ∣ + a a^{2} + b^{2} = c^{2}$

${b = s + a a^{2} + b^{2} = c^{2}$

${b = s + a a^{2} + (s + a)^{2} = c^{2}$

${b = s + a a^{2} + s^{2} + 2 s a + a^{2} = c^{2}$

${b = s + a 2 a^{2} + 2 s a + s^{2} = c^{2} ∣ - c^{2}$

${b = s + a 2 a^{2} + 2 s a + s^{2} - c^{2} = 0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$Δ = (2 s)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (s^{2} - c^{2}) =$

$= 4 s^{2} - 8 (s^{2} - c^{2}) =$

$= 4 s^{2} - 8 s^{2} + 8 c^{2} =$

$= - 4 s^{2} + 8 c^{2} =$

$= 8 c^{2} - 4 s^{2} =$

$= 4 (2 c^{2} - s^{2})$

Wyznaczamy pierwiastki.

$a_{1} = \frac{- 2 s + 4 ( 2 c ^{2} - s ^{2} )}{2 \cdot 2} = \frac{- 2 s + 2 2 c ^{2} - s ^{2}}{4} = \frac{- s + 2 c ^{2} - s ^{2}}{2} = \frac{2 c ^{2} - s ^{2} - s}{2}$

$a_{2} = \frac{- 2 s - 4 ( 2 c ^{2} - s ^{2} )}{2 \cdot 2} = \frac{- 2 s - 2 2 c ^{2} - s ^{2}}{4} = \frac{- s - 2 c ^{2} - s ^{2}}{2} = \frac{- 2 c ^{2} - s ^{2} - s}{2}$

Otrzymaliśmy dwa rozwiązania a₁ i a₂. Zauważmy, że a₂<0. Długość odcinka nie może być liczbą ujemną, więc odrzucamy drugie rozwiązanie. Mamy więc:

$a = \frac{2 c ^{2} - s ^{2} - s}{2}$

Konstrukcja:

1. Rysujemy kwadrat o boku długości c. Przekątną tego kwadratu oznaczmy jako d.

Ze wzoru na długość przekątnej kwadratu, otrzymujemy:

$d = c 2$

2. Rysujemy trójkąt prostokątny o jednej przyprostokątnej b-a (czyli s) i przeciwprostokątnej d (czyli c√2).

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i wyznaczamy długość m.

$m^{2} = d^{2} - (b - a)^{2}$

$m^{2} = (c 2)^{2} - s^{2}$

$m^{2} = 2 c^{2} - s^{2}$

$m = 2 c^{2} - s^{2}$

3. Na prostej odkładamy odcinek m oraz odcinek s (czyli b-a) w taki sposób, by odcinki te miały wspólny koniec, następnie wyznaczamy środek odcinka m-s.

Stąd otrzymujemy:

$\frac{m - s}{2} = \frac{2 c ^{2} - s ^{2} - s}{2} = a$

Wyznaczyliśmy długość przyprostokątnej a trójkąta prostokątnego o bokach długości a, b, c.

4. Rysujemy okrąg, którego średnicą jest odcinek c, oraz okrąg o promieniu długości a, którego środkiem jest jeden z końców odcinka c. Prowadzimy odcinek łączący ten koniec z jednym z punktów przecięcia okręgów.