Dane:

1. Suma długości przyprostokątnych |AC|+|BC|=b+a.

2. Długość przeciwprostokątnej |AB|=c.

Przyjmijmy, że:

$b+a=s$  

Trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny, więc na mocy twierdzenia Pitagorasa:

$a^2+b^2=c^2$  

Możemy więc zapisać:

$\{\begin{array}{l}b+a=s\mid -a\\ a^2+b^2=c^2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=s-a\\ a^2+b^2=c^2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=s-a\\ a^2+{\left(s-a\right)}^2=c^2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=s-a\\ a^2+s^2-2sa+a^2=c^2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=s-a\\ 2a^2-2sa+s^2=c^2\mid -c^2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=s-a\\ 2a^2-2sa+s^2-c^2=0\end{array}$  

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta ={\left(-2s\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(s^2-c^2\right)=$  

$=4s^2-8\left(s^2-c^2\right)=$  

$=4s^2-8s^2+8c^2=$  

$=-4s^2+8c^2=$  

$=8c^2-4s^2=$  

$=4\left(2c^2-s^2\right)$  

Wyznaczamy pierwiastki.

$a_1=\frac{-\left(-2s\right)+\sqrt{4\left(2c^2-s^2\right)}}{2\cdot 2}=\frac{2s+2\sqrt{2c^2-s^2}}{4}=\frac{s+\sqrt{2c^2-s^2}}{2}$  

$a_2=\frac{-\left(-2s\right)-\sqrt{4\left(2c^2-s^2\right)}}{2\cdot 2}=\frac{2s-2\sqrt{2c^2-s^2}}{4}=\frac{s-\sqrt{2c^2-s^2}}{2}$  

Skupimy się na jednym z tych przypadków. Przyjmijmy, że:

$a=\frac{s+\sqrt{2c^2-s^2}}{2}$  

* W drugim przypadku otrzymalibyśmy taki sam trójkąt, a różnica polegałaby jedynie na oznaczeniu przyprostokątnych (b zamiast a i a zamiast b).

Konstrukcja:

1. Rysujemy kwadrat o boku długości c. Przekątną tego kwadratu oznaczmy jako d.

Ze wzoru na długość przekątnej kwadratu, otrzymujemy:

$d=c\sqrt{2}$  

2. Rysujemy trójkąt prostokątny o jednej przyprostokątnej b+a (czyli s) i przeciwprostokątnej d (czyli c√2).

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i wyznaczamy długość m.

$m^2=d^2-{\left(b+a\right)}^2$  

$m^2={\left(c\sqrt{2}\right)}^2-s^2$  

$m^2=2c^2-s^2$  

$m=\sqrt{2c^2-s^2}$  

3. Na prostej odkładamy kolejno odcinki s (czyli b+a) oraz m i wyznaczamy środek odcinka s+m.

Stąd otrzymujemy:

$\frac{s+m}{2}=\frac{s+\sqrt{2c^2-s^2}}{2}=a$  

Wyznaczyliśmy długość przyprostokątnej a trójkąta prostokątnego o bokach długości a, b, c.

4. Rysujemy okrąg, którego średnicą jest odcinek c, oraz okrąg o promieniu długości a, którego środkiem jest jeden z końców odcinka c. Prowadzimy odcinek łączący ten koniec z jednym z punktów przecięcia okręgów.

Kąt oparty na średnicy okręgu jest prosty, więc trójkąt, którego wierzchołkami są niebieskie punkty, jest prostokątny.