II liceum

II technikum

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Karty pracy ucznia zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 2. Poziom podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Poziom rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 2.  Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 2. . Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Ćwiczenia podstawowe. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matura z Matematyki  2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 2

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 2

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

∢DBA=2α &nbsp; ∢CBD=α &nbsp; &nbsp; 2α+α=90∘ &nbsp; 3α=90∘ &nbsp; α=30∘ &nbsp; 2α=60∘ &nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Wykonajmy rysunek pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126550/FGCIY5saBBv2da2GKd3P3g%3D%3D_f0010aaff07d0c0c3ee4016edb6238db0c19cde208f7e337231e7b31c6f2bce8.png" alt="" width="688" height="611">

Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie i dzielą się w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka. &nbsp; Wykonajmy rysunek pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126551/WVU9KTeXU/kUQyc5uxOaJw%3D%3D_11538b0ebbf9102ead4ba0a7e6465aad7f5f5e135f8a3de52317e54b05b0e643.png" alt="" width="643" height="642">

Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie i dzielą się w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka. Wykonajmy szkic pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126553/AUHvdZTeYnLgXjZ%2BxbC3pQ%3D%3D_ba5c7c64262ec4a084cd0c9ae1237b22fa94ea33c13f258ed0ec80956efcf210.png" alt="" width="666" height="643"> 31​h=31​⋅120=40 &nbsp; 32​x=3 1​2​⋅87 29=58 &nbsp; &nbsp; Skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie BDS: a2+402=582 &nbsp; a2+1600=3364 &nbsp; a2=1764 &nbsp; a=42 &nbsp; &nbsp; Długość podstawy jest więc równa: ∣AB∣=2a=2⋅42=84​ &nbsp;&nbsp;&nbsp;

Szkic pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126554/A%2B%2B8od6jJp%2BNZym1KukaNQ%3D%3D_74c016cbc084e27de5e74ddab957c236e7798418e4152ec96ea291bfbea7e8a6.png" alt="" width="664" height="566">

Możemy zauważyć, że: ∣∠DAE∣=∣∠BAC∣

Szkic pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126558/izzU6KKjZDiEAXQtHQ4vnA%3D%3D_3d23a1fe0d82f472e11c54271bf1df4f487721223aea01c3e6cf6bbf0b77b856.png" alt="" width="649" height="401">

Obliczamy długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt. <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126559/h3D0t%2BJ98b3QwDtbpYkfUw%3D%3D_80e5821ae087fd8d634d5a7394e67af6d10ced19c15eaf1b9ee4724d8f6d219d.jpg" width="312" height="323"> Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. &nbsp;Z treści zadania wiemy, że: ∣DC∣=8 cm &nbsp; ∣AB∣=12 cm &nbsp; Obliczmy długość odcinka Cb korzystając z tw. Pitagorasa dla trójkąta DBC: ∣CB∣2=82+62 &nbsp;&nbsp; ∣CB∣2=100 &nbsp; ∣CB∣=10 [cm]

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126561/9uif/ky7aPhRsNQnBsZ%2BiA%3D%3D_db1fd26a1260c1f9b6e5c72ebc112d26895e3de6ce948ea4e25cfc6e5ad931d4.jpg" width="454" height="224"> Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Z treści zadania mamy: ∣∠ADB∣=∣∠DCB∣=α &nbsp; Oznaczamy miarę kątów ADB oraz DCB jako&nbsp;α. Prosta DB przecina dwie proste równoległe DC oraz AB więc wyznacza kąty odpowiadające o równej mierze oraz kąty naprzemianległe o równej mierze. Stąd: ∣∠ABD∣=∣∠CDB∣=β &nbsp; Trójkaty ABD oraz DBC są trójkątami podobnymi, gdyż mają kąty o równej mierze. Długości odpowiadających sobie boków w tych trójkątach są proporcjonalne, więc możemy zapisać: ∣DB∣∣DC∣​=∣DA∣∣CB∣​ &nbsp; x18​=2515​ &nbsp; 15x=450 &nbsp;&nbsp; x=30 Aby obliczyć długość podstawy AB zapisujemy kolejny stosunek długości boków: ∣DB∣∣DC∣​=∣AB∣∣DB∣​ &nbsp; 3018​=y30​ &nbsp; 18y=900 &nbsp; y=50 &nbsp; &nbsp; Obliczamy obwód: L=18+15+25+50=108 &nbsp; &nbsp; Odp: Obwód wynosi 108.

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126562/qsQQohGSOXpvfJ3GZ5TWow%3D%3D_c03750a00a9a2b3c81a161214456703a67da2790b4591a2f2dd26ea74a169f0b.jpg" width="304" height="279"> Kąty DMA oraz CMB są katami wierzchołkowymi, więc mają równe miary. Oznaczmy te miary jako&nbsp;α. ∣∠DMA∣=∣∠CMB∣=α

Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie i dzielą się w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka. Wykonajmy szkic pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126553/AUHvdZTeYnLgXjZ%2BxbC3pQ%3D%3D_ba5c7c64262ec4a084cd0c9ae1237b22fa94ea33c13f258ed0ec80956efcf210.png" alt="" width="666" height="643"> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6a0ca1ca3a67760b37eb7dfb272de6663a3f711191de20f6e62ed4a53f213eac_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6a0ca1ca3a67760b37eb7dfb272de6663a3f711191de20f6e62ed4a53f213eac_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6fc7c429bb86d32bb15e3aa0913d6b4531b777ad384c347027c6458cff258044_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6fc7c429bb86d32bb15e3aa0913d6b4531b777ad384c347027c6458cff258044_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie BDS: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/62b5eb6e2ad7c339786b5ddcca4403bbc8c778f6d38625292dc1a38a7a9ac720_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/62b5eb6e2ad7c339786b5ddcca4403bbc8c778f6d38625292dc1a38a7a9ac720_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/499ec49ac68a7657f66ba0a23d3796d1c56d9612ce9a6cef81a3830f65651e9f_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/499ec49ac68a7657f66ba0a23d3796d1c56d9612ce9a6cef81a3830f65651e9f_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c8a0c07235cc9e73436cbe5367d83822a456a566e1c1624bbcb3d04e5a96fe08_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c8a0c07235cc9e73436cbe5367d83822a456a566e1c1624bbcb3d04e5a96fe08_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/41353c1aa2ea951f157ad7d478291ff0312dcf2ee077ebbf8f45198c2e78b7f3_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/41353c1aa2ea951f157ad7d478291ff0312dcf2ee077ebbf8f45198c2e78b7f3_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Długość podstawy jest więc równa: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/973692d0719bcf1c750132d0ee1db027bc78ff35879b4d73d2747e3f625482b4_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/973692d0719bcf1c750132d0ee1db027bc78ff35879b4d73d2747e3f625482b4_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;&nbsp;&nbsp;

Możemy zauważyć, że: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/e6ab505dfe14a6465d513d8ac300066d81cde9a6216ad51a9d686ae985c65259_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/e6ab505dfe14a6465d513d8ac300066d81cde9a6216ad51a9d686ae985c65259_big.svg" type="image/svg+xml"></object>

Obliczamy długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt. <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126559/h3D0t%2BJ98b3QwDtbpYkfUw%3D%3D_80e5821ae087fd8d634d5a7394e67af6d10ced19c15eaf1b9ee4724d8f6d219d.jpg" width="312" height="323"> Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. &nbsp;Z treści zadania wiemy, że: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/46947fd9f42f91107f1bf061d241d18a2f625083732c61e668850c9a12593c1f_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/46947fd9f42f91107f1bf061d241d18a2f625083732c61e668850c9a12593c1f_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/1025311a6e95ee2de45841b266dcb1eb737b2df9fc9727733ffd28b516af8ae1_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/1025311a6e95ee2de45841b266dcb1eb737b2df9fc9727733ffd28b516af8ae1_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Obliczmy długość odcinka Cb korzystając z tw. Pitagorasa dla trójkąta DBC: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/af8807568307151f3658b737d877e1acdc092ff55c095a540be132b20fbd411e_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/af8807568307151f3658b737d877e1acdc092ff55c095a540be132b20fbd411e_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c84b6825cb6cfbb309629233f4a82f103cd088a3a65e553572ede735fbf431b1_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c84b6825cb6cfbb309629233f4a82f103cd088a3a65e553572ede735fbf431b1_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/65a08abac2f0451a23f87d17cefe67b0ff81daf261405bd1b85ed223e4f4b22f_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/65a08abac2f0451a23f87d17cefe67b0ff81daf261405bd1b85ed223e4f4b22f_big.svg" type="image/svg+xml"></object>

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126561/9uif/ky7aPhRsNQnBsZ%2BiA%3D%3D_db1fd26a1260c1f9b6e5c72ebc112d26895e3de6ce948ea4e25cfc6e5ad931d4.jpg" width="454" height="224"> Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Z treści zadania mamy: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/02394321611ca07bd00f948d8fb2fae18923f6ad95290c0e6a59b2a968defa55_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/02394321611ca07bd00f948d8fb2fae18923f6ad95290c0e6a59b2a968defa55_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Oznaczamy miarę kątów ADB oraz DCB jako&nbsp;α. Prosta DB przecina dwie proste równoległe DC oraz AB więc wyznacza kąty odpowiadające o równej mierze oraz kąty naprzemianległe o równej mierze. Stąd: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5e1740e09683511633569550f31edef517194edd3efcdb52bd69e80d6a4091d5_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5e1740e09683511633569550f31edef517194edd3efcdb52bd69e80d6a4091d5_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Trójkaty ABD oraz DBC są trójkątami podobnymi, gdyż mają kąty o równej mierze. Długości odpowiadających sobie boków w tych trójkątach są proporcjonalne, więc możemy zapisać: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5b81d70b81c6b0931577dd373ff76e68f4127a50cf6d42cd40a2097826fd96c6_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5b81d70b81c6b0931577dd373ff76e68f4127a50cf6d42cd40a2097826fd96c6_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8da8a28899e13c60f135006858ffe04268b069f70d251c992e8bb97ca7f36673_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8da8a28899e13c60f135006858ffe04268b069f70d251c992e8bb97ca7f36673_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8d2bce2500ea069ab5dea86522476a9667a15389c4a1e49afff84e1a20db739b_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8d2bce2500ea069ab5dea86522476a9667a15389c4a1e49afff84e1a20db739b_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/bb8717d304b7c8422be4733044dbfe7c26e367c4888071b8373b8bade7b4b195_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/bb8717d304b7c8422be4733044dbfe7c26e367c4888071b8373b8bade7b4b195_big.svg" type="image/svg+xml"></object> Aby obliczyć długość podstawy AB zapisujemy kolejny stosunek długości boków: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d33f6e825887e03a082a2f7dbc347c85bac1f9dbd7319e1ab8f78aa425fe303d_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d33f6e825887e03a082a2f7dbc347c85bac1f9dbd7319e1ab8f78aa425fe303d_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/1ea26c1faa3165b1ee792e96f270c49d86f0488a39807e35fd60cc4e2e0673be_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/1ea26c1faa3165b1ee792e96f270c49d86f0488a39807e35fd60cc4e2e0673be_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/20f8ee9261dabe1cada6652113ab69e31fd0bfbcb0a3701ede2ac63422ed1e52_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/20f8ee9261dabe1cada6652113ab69e31fd0bfbcb0a3701ede2ac63422ed1e52_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/42a5ed79fcbd35f507f94fb32fe6465ca989b07081b11f351ff8ec81848f98dc_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/42a5ed79fcbd35f507f94fb32fe6465ca989b07081b11f351ff8ec81848f98dc_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Obliczamy obwód: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/7eff7afbd831bd1e76bbddd74bcb170e4ee623de15978de4718a6af7519ceb39_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/7eff7afbd831bd1e76bbddd74bcb170e4ee623de15978de4718a6af7519ceb39_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Odp: Obwód wynosi 108.

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126562/qsQQohGSOXpvfJ3GZ5TWow%3D%3D_c03750a00a9a2b3c81a161214456703a67da2790b4591a2f2dd26ea74a169f0b.jpg" width="304" height="279"> Kąty DMA oraz CMB są katami wierzchołkowymi, więc mają równe miary. Oznaczmy te miary jako&nbsp;α. <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/07eeaf692aff8b5b1d5788e6ff4736e959c33d1daeeb7fa7434950abf61a84f2_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/07eeaf692aff8b5b1d5788e6ff4736e959c33d1daeeb7fa7434950abf61a84f2_big.svg" type="image/svg+xml"></object>

Komentarze