2 szkoły średniej

II liceum

II technikum

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126504/eUb4d07m2JsXigVvtJ8H5A%3D%3D_c92ed2af9c0b61372a0c356f0386008a0244b4c8ca407dd2b961e573a03a8f9b.jpg" width="338" height="243"> Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.&nbsp; Oznaczmy miary kątów: ∣∠CAB∣=α &nbsp; ∣∠CBA∣=β &nbsp; &nbsp; Zauważmy, że trójkąty ABC, CDB oraz CAD są trójkątami podobnymi, gdyż mają kąty o równych miarach. Długości boków są więc w tych trójkątach proporcjonalne. Możemy zapisać równość pomiędzy stosunkami dugości odpowiednich długości boków. Zapiszmy taką równość, aby możliwe było dzięki niej obliczenie długości a. xa​=2xh​

Wykonajmy szkic pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126506/1WmYYcNAg%2BkSzscW0ruQUg%3D%3D_06885eaf271e19863e0a83b7662d2a45991b97b3e0ecee96718ed585b9378980.png" alt="" width="297" height="670"> Obliczmy pole trójkąta ABC: PABC​=21​⋅12⋅4=24 &nbsp; &nbsp; Odcinek ED dzieli trójkąt ABC na figury o równych polach, a więc: PBCDE​=PAED​=21​PABC​=21​⋅24=12 &nbsp; &nbsp;

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126507/YUQE3ykfPb0X6SkJEERIfg%3D%3D_000d85561323052a060f497703f983792a761df97c31fe7f3b0ba9bb66ff5191.jpg" width="283" height="285"> Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Kąty ASC oraz DSB są kątami wierzchołkowymi, więc mają taką samą miarę: ∣∠ASC∣=∣∠DSB∣=β Kąty wpisane ACD oraz ABD oparte są na tym samym łuku, więc także mają równą miarę: ∣∠ACD∣=∣∠ABD∣=α

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126508/2f9b%2BsQTMkF2dIi7ye47eA%3D%3D_a726d9cff8d6349fd651ddf11b2ef1620c94245e200f32e687fd07f083b44b3e.jpg" width="274" height="287"> Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Kąty ASC oraz DSB są kątami wierzchołkowymi, więc mają taką samą miarę: ∣∠ASC∣=∣∠DSB∣=α &nbsp; Kąty wpisane ACD oraz ABD oparte są na tym samym łuku, więc także mają równą miarę: ∣∠ACD∣=∣∠ABD∣=β &nbsp; &nbsp; Oba trójkąty SBD oraz ACS mają dwa kąty o takich samych miarach&nbsp;α i ß, więc miara trzeciego kąta w obu trójkatach także musi być taka sama. Trójkaty SBD oraz ACS są więc podobne z cechy kąt kąt kąt. Długości odpowiadajacych boków w obu trójkątach są proporcjonalne. Możemy zapisać: 8x​=53​ &nbsp; 5x=24 &nbsp; x=454​=4,8 &nbsp; &nbsp; Odp: Długość odcinka x wynosi 4,8.

Wykonajmy szkic pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126513/NZD8dFftaFtY%2BQTOhRvtmA%3D%3D_fbb1e30ac8c1fa6d7bac3d46ef6015f8b9f30a19ece0fc47fb0b6e4feed3e1c3.png" alt="" width="971" height="574"> Korzystając z twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą dostajemy: ∢PAB=∢PCA=α &nbsp; &nbsp;

Szkic pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126517/TPmkEb0SwAKIxRnvd9Zk%2BA%3D%3D_c86bd1749aec78f8bd957d6193af8ae212a7b7306af98f79e9ee98f0076e80ba.png" alt="" width="788" height="549"> &nbsp; ∢EFG=180∘−α &nbsp; ∢DGF=180∘−β &nbsp; &nbsp; Czworokąt DGFE jest wpisany w okrąg - a więc sumy miar jego naprzeciwległych kątów są równe 180o. ∢EFG+∢GDE=180∘ &nbsp; ∢GDE+180∘−α=180∘ &nbsp; ∢GDE=α &nbsp; &nbsp; &nbsp; ∢DGF+∢DEF=180∘ &nbsp; ∢DEF+180∘−β=180∘ &nbsp; ∢DEF=β &nbsp;

Szkic pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126522/Lb90eSViqsqxesssbxmLew%3D%3D_4d7b2918fa18135c61feb307c927409125cb7b47de833f06f42d2b45dfe315ca.png" alt="" width="701" height="697"> ∢AEF=180∘−β &nbsp; ∢EFB=180∘−γ &nbsp; &nbsp;

Szkic pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126534/cUzy9ubLI69MJSfpgOBRZw%3D%3D_e4d434bc9cf5cbb1bd8f26164d8416cc191790d1fd4c471e1d727debadfcff19.png" alt="" width="790" height="423"> Trójkąt GEF i IJH są podobne - a więc miary ich odpowiednich kątów są sobie równe. &nbsp;

Wykonajmy rysunek pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126547/P/aosrH9s/fZkNwEAgRqtg%3D%3D_158cbdf7b76aaaf33a1499e65b31d1ab09a0673275be246c6a429290fe1f6998.png" alt="" width="1007" height="547">

Skorzystajmy z twierdzenia o odcinku łączącym środki boków w trójkącie:
Odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku, a jego długość jest równa połowie długości trzeciego boku.
 
1.
Mamy dane trzy punkty. Narysujmy prostą przechodzącą przez dwa z nich, a następnie prostą równoległą przechodzącą przez trzeci punkt:

3 szkoły podstawowej

4 szkoły podstawowej

5 szkoły podstawowej

6 szkoły podstawowej

7 szkoły podstawowej

8 szkoły podstawowej

1 szkoły średniej

3 szkoły średniej

4 szkoły średniej

Matematyka 1. Poziom podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Karty pracy ucznia zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 2. Poziom podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Poziom rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Szkoła branżowa I stopnia. Reforma 2019

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 2.  Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 2. . Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka dla zasadniczych szkół zawodowych. Cz. 1

Matematyka dla zasadniczych szkół zawodowych. Cz. 2

Matematyka do zasadniczych szkół zawodowych 2

Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka poznać, zrozumieć 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka w szkole branżowej I stopnia. Podręcznik 2. Reforma 2019

Matematyka w zasadniczej szkole zawodowej kl. I - III

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Ćwiczenia podstawowe. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matura z Matematyki  2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 2

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 2

Komentarze