II liceum

II technikum

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Karty pracy ucznia zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 2. Poziom podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Poziom rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 2.  Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 2. . Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Ćwiczenia podstawowe. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matura z Matematyki  2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 2

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 2

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Szkic pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126441/6ZiGTd4vRiOhVJQruEESiw%3D%3D_6b821400f66e71c7a38a7c612c4d40bbde5453d30e76741b33967570bcda7a4a.png" alt="" width="1105" height="431"> Trójkąty ABD i MPD są podobne, a więc: ∣DJ∣∣MP∣​=∣DH∣∣AB∣​ &nbsp;

Szkic pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126443/bFlBwez20MRyqbePMO3Xhg%3D%3D_2fe005525878ce6badbd3fa1acf54f6b7fc51534721873c7be46e18bcd263c88.png" alt="" width="1003" height="501"> Zauważmy, że czworokąty AKMD oraz LBCN są równoległobokami.

Wykonajmy rysunek pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126446/liXP1RnlQi1GhzgoK%2BiXoQ%3D%3D_77192901f5bee4dfa5d1d80cd2128bafd2886f91c8bd2ffbdc95f12f289dc6ae.png" alt="" width="734" height="664">

Rysunek pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126451/6GKeAcstKlJd%2BDxGmjDglQ%3D%3D_b1db98069319ea68c62bb5089f841bd1390df4687bc1a71b5494458060e37c13.png" alt="" width="705" height="655">

Szkic pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126453/RB0/tjI2IsqjSjZ0u8P/mQ%3D%3D_56d55c017906ba47ecb395b3f1ee1bb71aba44fbcdc7582213f2f6cae5f23e41.png" alt="" width="670" height="655"> Kąt ACB jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku, co kąt środkowy ASB, a więc: ∢ACB=21​⋅80∘=40∘ &nbsp;&nbsp; &nbsp; Trójkąt ABC jest równoramienny, a więc: ∢BAC=∢ABC=2180∘−40∘​=2140∘​=70∘ &nbsp;&nbsp;

Skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa i obliczmy długość przeciwprostokątnej: c2=92+402 &nbsp;

a &nbsp; - długość boku trójkąta R=3a3<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​​ &nbsp; - promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku długości&nbsp;a &nbsp; Zapiszmy równanie:

Zauważmy, że skoro kąt ostry rombu ma miarę 60o, to jego krótsza przekątna dzieli go na dwa trójkąty równoboczne ABD i BCD. Szkic pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126459/8IDGNT2ewQpWuZnxIN4ytg%3D%3D_c40dfffc34cc4f3b66037896ebb201468e1eae40dec9e3b20dcafe4d8a7e5fc0.png" alt="" width="852" height="661"> &nbsp;

Wykonajmy szkic pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126463/MzOKp9pq5ZpKgD4BqcWn3g%3D%3D_f33b4768594b648ca0e384a6a9f6ef59cfb11a5611a655cb80acb54bd8b88f27.png" alt="" width="748" height="700">

Szkic pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126465/S7h9wyxa7jlUkvGv8vnn4w%3D%3D_9050ca00e7653bac1b5c6377c4d7b5c7064555d20e710d11c4ecf95b41812c84.png" alt="" width="873" height="447"> Skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie BEC i obliczmy długość odcinka CE: ∣CE∣2+92=152 &nbsp; ∣CE∣2+81=225 &nbsp; ∣CE∣2=144 &nbsp; ∣CE∣=12 &nbsp; &nbsp; Obliczmy pole trójkąta BEC: PBEC​=21​⋅12⋅9=54 &nbsp; &nbsp; Pole trójkąta BEC jest równe sumie pól trójkątów BES i BSC: PBEC​=PBES​+PBSC​=21​⋅r⋅9+21​⋅r⋅15=4,5r+7,5r=12r &nbsp;&nbsp; &nbsp; 12r=54 ∣:12 &nbsp; r=4,5 cm &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp; &nbsp;

Środek ciężkości trójkąta to punkt, w którym przecinają się środkowe. Środkowe w trójkącie przecinają się w jednym punkcie i dzielą się w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka. Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w połowie jego przeciwprostokątnej. &nbsp; Wykonajmy szkic pomocniczy:

Szkic pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126441/6ZiGTd4vRiOhVJQruEESiw%3D%3D_6b821400f66e71c7a38a7c612c4d40bbde5453d30e76741b33967570bcda7a4a.png" alt="" width="1105" height="431"> Trójkąty ABD i MPD są podobne, a więc: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/595136c5e4688533d22c2b9a129f9cb34471153d8908411bb69c850d728d2342_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/595136c5e4688533d22c2b9a129f9cb34471153d8908411bb69c850d728d2342_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;

Szkic pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126453/RB0/tjI2IsqjSjZ0u8P/mQ%3D%3D_56d55c017906ba47ecb395b3f1ee1bb71aba44fbcdc7582213f2f6cae5f23e41.png" alt="" width="670" height="655"> Kąt ACB jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku, co kąt środkowy ASB, a więc: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/78a18ede99ef48898a9d3cc1efae568ccd7a91d269c2303041aa5db18a601d2a_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/78a18ede99ef48898a9d3cc1efae568ccd7a91d269c2303041aa5db18a601d2a_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;&nbsp; &nbsp; Trójkąt ABC jest równoramienny, a więc: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f31ce4482e979c7389d463c785c5865514dd401bd9a559f5412e384a4558ca6c_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f31ce4482e979c7389d463c785c5865514dd401bd9a559f5412e384a4558ca6c_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;&nbsp;

Skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa i obliczmy długość przeciwprostokątnej: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/dabd4c5e689d884b193e11e2c2a061bd2728c58f59abb42a7e33e44954ab476e_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/dabd4c5e689d884b193e11e2c2a061bd2728c58f59abb42a7e33e44954ab476e_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;

Szkic pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126465/S7h9wyxa7jlUkvGv8vnn4w%3D%3D_9050ca00e7653bac1b5c6377c4d7b5c7064555d20e710d11c4ecf95b41812c84.png" alt="" width="873" height="447"> Skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie BEC i obliczmy długość odcinka CE: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/1b42e155536c942ea4e213f8c89eb83ac7726dca9f888e90108e48ddf4d9287b_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/1b42e155536c942ea4e213f8c89eb83ac7726dca9f888e90108e48ddf4d9287b_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/cb7bb187d776c6a2d5b69bd490abec16678ed1cbb4de47d058bbd53cf4b9c704_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/cb7bb187d776c6a2d5b69bd490abec16678ed1cbb4de47d058bbd53cf4b9c704_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6fddd70a9b61dd316ac729e1c0832d046b678116cc7a33343fdb198dc8350d2a_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6fddd70a9b61dd316ac729e1c0832d046b678116cc7a33343fdb198dc8350d2a_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2d2ac8427c633b0be50cb703a7e5d39cd75b726347bd047083decef678bf3f14_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2d2ac8427c633b0be50cb703a7e5d39cd75b726347bd047083decef678bf3f14_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Obliczmy pole trójkąta BEC: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b46a374c5c95ae9238d946ab1173a56dac88747f7da9942ad4b7c21a9f624913_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b46a374c5c95ae9238d946ab1173a56dac88747f7da9942ad4b7c21a9f624913_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Pole trójkąta BEC jest równe sumie pól trójkątów BES i BSC: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/9cab1724025d54a993f6c8cdd761a71481966b5ac015812d35baf13bf40e3d34_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/9cab1724025d54a993f6c8cdd761a71481966b5ac015812d35baf13bf40e3d34_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;&nbsp; &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b4208e5a55b721db891aa39932fcd0d430e1ca4e3475299452d9509cd474d8be_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b4208e5a55b721db891aa39932fcd0d430e1ca4e3475299452d9509cd474d8be_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/54cbfc6abe4ec117dda4cebc56f40e73fbd41dd33999d8635785d1863fdddff1_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/54cbfc6abe4ec117dda4cebc56f40e73fbd41dd33999d8635785d1863fdddff1_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp; &nbsp;

Komentarze