Dane jest równanie

$x^3-3x^2-px+3p=0,p\in \mathbb{R}$

rozkładając na czynniki otrzymujemy 

$x^2\left(x-3\right)-p\left(x-3\right)=0$

$\left(x-3\right)\left(x^2-p\right)=0$  

 

I. Dla p = 0 dostajemy 

$\left(x-3\right)\cdot x^2=0$

$x-3=0\text{lub}x=0$

$x=3\text{lub}x=0$    

równanie ma 2 rozwiązania

$x=3\text{i}x=0$  

 

II. Dla  p < 0 otrzymujemy 

$\left(x-3\right)\left(x^2-p\right)=0$  

$x-3=0\text{lub}{x}^2-p=0$

$x=3\text{lub}{x}^2=p<0\left(\text{sprz.}\right)$

czyli jedyny rozwiązaniem równania jest 

$x=3$  

 

III. Dla  p > 0 otrzymujemy 

$\left(x-3\right)\left(x^2-p\right)=0$  

$x-3=0\text{lub}{x}^2-p=0$

$x=3\text{lub}{x}^2=p>0$

$x=-\sqrt{p}\text{lub}x=\sqrt{p}$  

czyli równanie ma 3 rozwiązania

$x=3,x=-\sqrt{p},x=\sqrt{p}$

Zatem wykazaliśmy, że niezależnie od parametru p, równanie ma zawsze co najmniej jedno rozwiązanie (jest nim liczba 3).

 

Sprawdźmy jeszcze kiedy to równanie ma dokładnie 2 rozwiązania. 

Dla p = 0 rozwiązaniem są nim liczby

  $x_1=3,x_2=0$   

Ponadto zauważmy, że to równanie będzie mieć dwa rozwiązania, gdy dla  p > 0 zachodzi

$\sqrt{p}=3\text{lub}-\sqrt{p}=3\left(\text{sprz.}\right)$  

czyli

$p=9$

wówczas rozwiązaniem równania są liczby 

$x_1=3,x_2=-3$