a)

Dany jest układ równań postaci

$\{\begin{array}{l}{x}^4-4y-1=0\\ y-x^2=1\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{x}^4-4y-1=0\\ y=1+x^2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{x}^4-4\left(1+x^2\right)-1=0\\ y=1+x^2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{x}^4-4x^2-5=0\\ y=1+x^2\end{array}$

rozwiązując pierwsze równanie otrzymamy 

$x^4-4x^2-5=0$

użyjemy podstawienia

$t=x^2,t\ge 0$

otrzymamy

$t^2-4t-5=0$

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-5\right)=16+20=36$

$\sqrt{\Delta }=6$

więc

$t_1=\frac{4-6}{2}=\frac{-2}{2}=-1\left(\text{sprz.}\right)$

$t_2=\frac{4+6}{2}=\frac{10}{2}=5$

wracając do podstawienia otrzymujemy 

$t=5$

$x^2=5$

$x=-\sqrt{5}\text{lub}x=\sqrt{5}$  

 

Dla    $x=\sqrt{5}$  otrzymujemy 

$y=1+x^2=1+{\left(\sqrt{5}\right)}^2=1+5=6$

Dla   $x=-\sqrt{5}$   dostajemy

$y=1+x^2=1+{\left(-\sqrt{5}\right)}^2=1+5=6$  

 

Zatem rozwiązaniem układu równań są pary liczb

$x=-\sqrt{5},y=6\text{lub}x=\sqrt{5},y=6$

---

b)

Dany jest układ równań postaci

  $\{\begin{array}{l}{x}^3+2y^2+8=0\\ x+y=2\left(x+1\right)\end{array}$  

  $\{\begin{array}{l}{x}^3+2y^2+8=0\\ x+y=2x+2\end{array}$  

  $\{\begin{array}{l}{x}^3+2y^2+8=0\\ y=x+2\end{array}$  

  $\{\begin{array}{l}{x}^3+2{\left(x+2\right)}^2+8=0\\ y=x+2\end{array}$  

  $\{\begin{array}{l}{x}^3+2\left(x^2+4x+4\right)+8=0\\ y=x+2\end{array}$   

  $\{\begin{array}{l}{x}^3+2x^2+8x+16=0\\ y=x+2\end{array}$                  

rozwiązując pierwsze równanie otrzymamy 

$x^3+2x^2+8x+16=0$

$x^2\left(x+2\right)+8\left(x+2\right)=0$

$\left(x+2\right)\left(x^2+8\right)=0$

więc

$x+2=0\text{lub}{x}^2+8=0$  

$x=-2\text{lub}{x}^2=-8\left(\text{sprz.}\right)$  

zatem

$y=x+2=-2+2=0$

 

rozwiązaniem układu równań jest więc para liczb

$x=-2,y=0$

---

c)

Dany jest układ równań postaci

$\{\begin{array}{l}{x}^2=y+1\\ x^3\left(y+2\right)=10\left(y+1\right)\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{x}^2=y+1\\ x^3\left(y+1+1\right)=10\cdot x^2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{x}^2=y+1\\ x^3\left(x^2+1\right)=10\cdot x^2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{x}^2=y+1\\ x^5+x^3=10x^2\end{array}$

rozwiązując drugie równanie otrzymamy

$x^5+x^3-10x^2=0$

$x^2\left(x^3+x-10\right)=0$

$x^2\left(x^3\underset{=x}{\underbrace{-4x+5x}}-10\right)=0$

$x^2\left(x^3\underset{=0}{\underbrace{-2x^2+2x^2}}-4x+5x-10\right)=0$    

$x^2\left(x^2\left(x-2\right)+2x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)\right)=0$

$x^2\left(x-2\right)\left(x^2+2x+5\right)=0$

więc

$x=0\text{lub}x-2=0\text{lub}{x}^2+2x+5=0$

$x=0\text{lub}x=2\text{lub}\Delta =-16<0$

 

dla x = 0 dostajemy

$0=y+1\Rightarrow y=-1$

dla x = 2 dostajemy

$2^2=y+1\Rightarrow y=3$

 

zatem rozwiązaniem układu równań są pary liczb

$x=0,y=-1\text{lub}x=2,y=3$  

---

d)

Dany jest  układ równań postaci

$\{\begin{array}{l}{\left(x+\frac{3}{4}\right)}^2=y+\frac{9}{16}\\ x^3+6y=0\end{array}$       

$\{\begin{array}{l}{x}^2+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=y+\frac{9}{16}\\ y=-\frac{x^3}{6}\end{array}$       

$\{\begin{array}{l}{x}^2+\frac{3}{2}x=-\frac{x^3}{6}\mid \cdot 6\\ y=-\frac{x^3}{6}\end{array}$       

$\{\begin{array}{l}6x^2+9x=-x^3\\ y=-\frac{x^3}{6}\end{array}$       

rozwiązując pierwsze równanie otrzymamy 

$x^3+6x^2+9x=0$  

$x\left(x^2+6x+9\right)=0$

$x{\left(x+3\right)}^2=0$  

więc

$x=0\text{lub}x+3=0$

$x=-3$  

 

dla x = 0 dostajemy

$y=-\frac{0}{6}=0$  

dla x = -3 dostajemy

$y=-\frac{{\left(-3\right)}^3}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$  

 

zatem rozwiązaniem układu równań są pary liczb

$x=0,y=0\text{lub}x=-3,y=\frac{9}{2}$