🎓 Do okręgu o promieniu 2... - Zadanie 84: Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019 - strona 133
Przedmiot:
Matematyka
Wybrana książka:
Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019 (Zbiór zadań, GWO)
Klasa:
II technikum
Strona 133

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Rozważmy trójkąt OAC. 

Styczna jest prostopadła do promienia w punkcie styczności, więc

 

Dodatkowo wiemy, że 

więc trójkąt OAC jest trójkątem o kątach 30°, 60° i 90°.

Korzystając z zależności między długościami boków w tym trójkącie dostajemy 

Rozważmy trójkąty CSF i CSD.

Zauważmy, że

(jako równe odcinki łączące punkty przecięcia stycznych z punktami styczności)

oraz wiadomo, że styczna jest prostopadła do promienia w punkcie styczności, więc

 

 czyli na podstawie cechy przystawania bkb (bok-kąt-bok) trójkąty CSF i CSD są przystające.

Skąd dostajemy, że 

 

Rozważmy trójkąt CSD.

Jest to trójkąt o kątach 30°, 60° i 90°.

Korzystając z zależności między długościami boków w tym trójkącie dostajemy 

więc korzystając z (*) mamy 

Rozważmy trójkąt prostokątny OES. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dostajemy 

 

więc

           

(ponieważ promień szukanego okręgu musi być mniejszy od 2).

Zatem

 

Komentarze
Informacje o książce
Wydawnictwo:
GWO
Rok wydania:
2020
Autorzy:
Marcin Braun, Małgorzata Dobrowolska, Marcin Karpiński
ISBN:
9788381181396
Inne książki z tej serii:
Autor rozwiązania

Nauczyciel

Lubię wyzwania zarówno w matematyce jak i w życiu prywatnym. Ciągle się dokształcam, a w wolnych chwilach uwielbiam chodzić do teatru.