🎓 Na rysunkach przedstawiono okręgi... - Zadanie 79: Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019 - strona 132
Przedmiot:
Matematyka
Wybrana książka:
Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019 (Zbiór zadań, GWO)
Klasa:
II technikum
Strona 132

Na rysunkach przedstawiono okręgi...

79
 Zadanie

80
 Zadanie
81
 Zadanie
82
 Zadanie
83
 Zadanie

a) Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku:

Zauważmy, że pole zacieniowanej części figury jest równe różnicy pola połowy koła o promieniu 6 i dwóch kół: jednego o promieniu 3 (utworzą go dwie narysowane połówki koła) i drugiego o promieniu długości r, r > 0.

Obliczmy pole połowy koła o promieniu 6:

Obliczmy pole koła o promieniu 3:

Obliczmy pole koła o promieniu r.   

Rozważmy trójkąt ABC. 

Zauważmy, że jest to trójkąt równoramienny ponieważ:

Zauważmy, że okrągi o środkach O i C są styczne wewnętrznie, więc odległość ich środków jest równa różnicy długości ich promieni, czyli 

 

Punkt O jest środkiem podstawy AB, zatem odcinek OC jest wysokością w tym trójkącie.  

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dostajemy 

Obliczmy pole koła o promieniu r:

 

 

Obliczmy pole zacieniowanej figury:


b) Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku: 

Zauważmy, że pole zacieniowanej części figury jest równe różnicy pola połowy koła o promieniu 6 i dwóch kół: jednego o promieniu 3 i drugiego o promieniu długości r, r > 0.

Obliczmy pole połowy koła o promieniu 6:

Obliczmy pole koła o promieniu 3:

Obliczmy pole koła o promieniu r.   

Styczna jest prostopadła do promienia w punkcie styczności, czyli

 

Zatem czworokąt ABCO jest trapezem prostokątnym. 

Zauważmy, że okrągi o środkach O i B są styczne wewnętrznie, więc odległość ich środków jest równa różnicy długości ich promieni, czyli 

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie BCO dostajemy 

     

Niech BD będzie wysokością w tym trapezie, zauważmy, że 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ADB dostajemy 

Obliczmy pole koła o promieniu r:

 

Obliczmy pole zacieniowanej figury:

Komentarze
Informacje o książce
Wydawnictwo:
GWO
Rok wydania:
2020
Autorzy:
Marcin Braun, Małgorzata Dobrowolska, Marcin Karpiński
ISBN:
9788381181396
Inne książki z tej serii:
Autor rozwiązania

Nauczyciel

Lubię wyzwania zarówno w matematyce jak i w życiu prywatnym. Ciągle się dokształcam, a w wolnych chwilach uwielbiam chodzić do teatru.