Rozważmy przypadki:

1) Okręgi styczne zewnętrznie:

Niech prosta k będzie styczna w punkcie P do okręgu o środku A, niech prosta m będzie styczna w punkcie R do okręgu o środku w punkcie B. 

Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia w punkcie styczności, zatem

$\left|\sphericalangle APC\right|=\left|\sphericalangle BRD\right|={90}^{\circ }$  

Zauważmy, że kąty ASP i BSR to kąty wierzchołkowe, więc mają równe miary:

$\left|\sphericalangle ASP\right|=\left|\sphericalangle BSR\right|=\alpha$

Zauważmy, że trójkąt ASP jest równoramienny, ponieważ długości boków AP i AS tego trójkąta są równe długości promienia okręgu o środku A, więc

$\left|\sphericalangle APS\right|=\left|\sphericalangle ASP\right|=\alpha$  

więc

$\left|\sphericalangle SPC\right|={90}^{\circ }-\alpha$  

Zauważmy, że trójkąt SBR jest równoramienny, ponieważ długości boków BS i BR tego trójkąta są równe długości promienia okręgu o środku B, więc

$\left|\sphericalangle BSR\right|=\left|\sphericalangle BRS\right|=\alpha$  

więc

$\left|\sphericalangle SRD\right|={90}^{\circ }-\alpha$  

otrzymujemy więc, że

$\left|\sphericalangle SPC\right|=\left|\sphericalangle SRD\right|={90}^{\circ }-\alpha$

czyli proste k i m przecięte prostą PR tworzą kąty naprzemianległe wewnętrzne równej miary, czyli na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia o dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią prostą dostajemy, że proste k i m są równoległe

$k\text{||}m$  

c.n.d.

---

2) Okręgi styczne wewnętrznie

Niech prosta k będzie styczna w punkcie P do okręgu o środku A, niech prosta m będzie styczna w punkcie R do okręgu o środku w punkcie B. 

Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia w punkcie styczności, zatem

$\left|\sphericalangle BPC\right|=\left|\sphericalangle ARD\right|={90}^{\circ }$  

Zauważmy, że trójkąt ASR jest równoramienny, ponieważ długości boków AS i AR tego trójkąta są równe długości promienia okręgu o środku A, więc

$\left|\sphericalangle ASR\right|=\left|\sphericalangle ARS\right|=\alpha$  

więc

$\left|\sphericalangle SRD\right|={90}^{\circ }-\alpha$  

Zauważmy, że trójkąt SBP jest równoramienny, ponieważ długości boków BS i BP tego trójkąta są równe długości promienia okręgu o środku B, więc

$\left|\sphericalangle BSP\right|=\left|\sphericalangle BPS\right|=\alpha$  

(ponieważ kąty BSP i ASR pokrywają się)

więc

$\left|\sphericalangle SPC\right|={90}^{\circ }-\alpha$  

otrzymujemy więc, że

$\left|\sphericalangle SRD\right|=\left|\sphericalangle SPC\right|={90}^{\circ }-\alpha$

czyli proste k i m przecięte prostą PR tworzą kąty odpowiadające równej miary, czyli na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia o dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią prostą dostajemy, że proste k i m są równoległe

$k\text{||}m$  

c.n.d.