a) Rozważmy trójkąt NMW. 

Styczna jest prostopadła do promienia, więc

$\left|\sphericalangle WMN\right|={90}^{\circ }$

Niech

$\left|\sphericalangle MWN\right|=\alpha$

Wówczas korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie jest równa 180° dostajemy

$\left|\sphericalangle WNM\right|={90}^{\circ }-\alpha$    

Rozważmy trójkąt DRN.

Zauważmy, że kąty WNM, RNW i DNR to kąty przyległe, więc ich suma jest równa 180°, skąd dostajemy

$\left|\sphericalangle DNR\right|={180}^{\circ }-\left({90}^{\circ }-\alpha +{90}^{\circ }\right)=\alpha$  

Korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie jest równa 180° dostajemy

$\left|\sphericalangle RDN\right|={180}^{\circ }-\left({90}^{\circ }+\alpha \right)={90}^{\circ }-\alpha$

Oznaczmy przez r długość promienia okręgu o środku W.

Zauważmy, że

$\left|RN\right|=\left|KW\right|=r$

(ponieważ proste AD i LN są równoległe, oraz kąty NRD i WKD to kąty proste).

Zatem otrzymaliśmy, że trójkąty DRN i NMW mają kąty równej miary i bok równej długości (między kątami tej samej miary) 

$\left|RN\right|=\left|WM\right|$

więc na podstawie cechy przystawania kbk (kąt-bok-kąt) te trójkąty są przystające.    

c.n.d.

---

b) W podpunkcie a) wykazaliśmy, że trójkąty DRN i NMW są przystające, więc mają odpowiednie boki równej długości, zatem

$\left|DN\right|=\left|NW\right|$  

więc trójkąt DNW jest równoramienny. 

c.n.d.

---

c) Skorzystamy z twierdzenia o stycznej:

Gdy styczne do okręgu się przecinają to odcinki łączące punkt przecięcia z punktami styczności mają równe długości. 

Niech:

$\left|AB\right|=\left|CD\right|=x$

r niech będzie długością promienia każdego z okręgów. 

Zauważmy, że 

$\left|AL\right|=\left|KW\right|=r$

(ponieważ proste AD i LN są równoległe, oraz kąty LAK i WKA to kąty proste).

więc

$\left|LB\right|=\left|AB\right|-\left|AL\right|=x-r$

Korzystając z przypomnianego twierdzenia o stycznej dostajemy 

$\left|LB\right|=\left|MB\right|=x-r$

Z drugie strony zauważmy, że 

$\left|QC\right|=\left|UP\right|=r$

więc

$\left|QD\right|=\left|CD\right|-\left|QC\right|=x-r$

Korzystając z przypomnianego twierdzenia o stycznej dostajemy 

$\left|QD\right|=\left|DN\right|=x-r$

W podpunkcie a) wykazaliśmy, że trójkąty DRN i NMW są przystające, więc

$\left|NW\right|=\left|DN\right|=x-r$

Rozważmy trójkąt BNW. 

Zauważmy, że 

$\left|NW\right|=x-r$

Natomiast

$\left|BW\right|>x-r$  

(ponieważ odcinek BW jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego BMW o przyprostokątnych długości r i x- r, więc w szczególności |BW| > x -r).

Zatem trójkąt BNW nie jest trójkątem równoramiennym, ponieważ

$\left|BW\right|>\left|NW\right|$    

c.n.d.