Szukamy funkcji danej wzorem:

$L\left(t\right)=b\cdot a^t$  

gdzie:

L(t) - liczba komarów (w mln)

t - czas (w latach)

---

Przed opryskamy (w chwili t=0) populacja komarów wynosiła 2 mln, więc:

$L\left(0\right)=2$  

$b\cdot a^0=2$  

$b\cdot 1=2$  

$b=2$  

Wówczas wzór funkcji przyjmuje postać:

$L\left(t\right)=2\cdot a^t$  

---

Opryski powodują zmniejszenie się populacji komarów o 15% rocznie. Obliczamy, jaka będzie populacja komarów po 1 roku:

$L\left(1\right)=2-15\%\cdot 2=2-0,15\cdot 2=2-0,3=1,7\left[\text{mln}\right]$  

Wyznaczamy współczynnik a:

$L\left(1\right)=1,7$  

$2\cdot a^1=1,7$  

$2a=1,7\mid :2$  

$a=0,85$  

---

Otrzymujemy:

$\underline{L\left(t\right)=2\cdot {0,85}^t}$  

---

---

a) Obliczamy, po jakim czasie populacja komarów zmniejszy się o połowę, czyli będzie wynosiła 1 mln:

$L\left(t\right)=1$  

$2\cdot {0,85}^t=1\mid :2$  

${0,85}^t=0,5$  

$\log {0,85}^t=\log 0,5$  

$t\log 0,85=\log 0,5\mid :\log 0,85$  

$t=\frac{\log 0,5}{\log 0,85}\approx 4,3\approx 4$  

Odp. Populacja komarów zmniejszy się o połowę po około 4 latach.

---

b) Obliczamy, po ilu latach populacja komarów zmniejszy się do 500 000, czyli 0,5 mln:

$L\left(t\right)=0,5$  

$2\cdot {0,85}^t=0,5\mid :2$  

${0,85}^t=0,25$  

$\log {0,85}^t=\log 0,25$  

$t\log 0,85=\log 0,25\mid :\log 0,85$  

$t=\frac{\log 0,25}{\log 0,85}\approx 8,5\approx 9$  

Odp. Walka z komarami będzie trwała około 9 lat.