a) Mamy dane:

$t=1$  

$N=500$  

$n=300$  

Podstawiamy dane do wzoru i wyznaczmy stałą a:

$n=N\left(1-a^t\right)$  

$300=500\left(1-a^1\right)$  

$300=500\left(1-a\right)\mid :500$  

$\frac{3}{5}=1-a$  

$-\frac{2}{5}=-a$  

$a=\frac{2}{5}$  

Wówczas wzór funkcji przyjmuje postać:

$n=N\left(1-{\left(\frac{2}{5}\right)}^t\right)$  

---

Obliczamy, ilu pracowników dowie się o podwyżce po t₂=2 godzinach:

$n_2=500\left(1-{\left(\frac{2}{5}\right)}^2\right)=500\left(1-\frac{4}{25}\right)=500\cdot \frac{21}{25}=420$  

Obliczamy, ilu pracowników dowie się o podwyżce po t₆=6 godzinach:

$n_6=500\left(1-{\left(\frac{2}{5}\right)}^6\right)=500\left(1-\frac{64}{15625}\right)=500\cdot \frac{15561}{15625}\approx 497,95\approx 498$  

Odp. Po 2 godzinach o podwyżce będzie wiedziało 420 pracowników, a po 6 - około 498 pracowników.

---

---

b) Mamy dane:

$t=3$  

$N=1$  (przyjmujemy, że wszyscy kierowcy stanowią całość, czyli 1)

$n=40\%\cdot 1=0,4$  

Podstawiamy dane do wzoru i wyznaczmy stałą a:

$n=N\left(1-a^t\right)$  

$0,4=1\left(1-a^3\right)$  

$0,4=1-a^3$  

$-0,6=-a^3$  

$a^3=0,6$  

$a=\sqrt[3]{0,6}\approx 0,84$  

Wówczas wzór funkcji przyjmuje postać:

$n=N\left(1-{0,84}^t\right)$  

---

Obliczamy, jaka część kierowców znała plotkę po pierwszym dniu, czyli po czasie t₁=1: 

$n_1=1\left(1-{0,84}^1\right)=1-0,84=0,16=16\%$  

Odp. Po pierwszym dniu plotkę znało około 16% kierowców.

---

Obliczamy, po jakim czasie plotkę będzie znało n=80%=0,8 kierowców:

$0,8=1\left(1-{0,84}^t\right)$  

$0,8=1-{0,84}^t$  

$-0,2=-{0,84}^t$  

${0,84}^t=0,2$  

$\log {0,84}^t=\log 0,2$  

$t\log 0,84=\log 0,2\mid :\log 0,84$  

$t=\frac{\log 0,2}{\log 0,84}\approx 9,23$  

Odp. 80% kierowców będzie znało plotkę po 10 dniach.