$x^2-3mx+m-4=0$  

Równanie ma co najmniej jeden pierwiastek, zatem:

$\Delta \ge 0$  

${\left(-3m\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(m-4\right)>0$  

$9m^2-4m+16>0$  

${\Delta }_m={\left(-4\right)}^2-4\cdot 9\cdot 16<0$  

Zatem rozwiązaniem nierówności jest:

$m\in \mathbb{R}$  

 

Zapiszmy wzory Viete'a:

$x_1+x_2=\frac{-b}{a}=3m$  

$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=m-4$  

 

Wyznaczmy sumę kwadratów tych pierwiastków.

$\frac{1}{x_1^2+x_2^2}=\frac{1}{{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2}=\frac{1}{{\left(3m\right)}^2-2\cdot \left(m-4\right)}=\frac{1}{9m^2-2m+8}$  

 

Zauważmy, że powyższa wartość jest najmniejsza, gdy mianownik jest najmniejszy.

Rozważamy funkcję:

$f\left(m\right)=9m^2-2m+8$  

Zauważmy, że jest to parabola, której ramiona są skierowane w górę.

Wyznaczmy argument, dla którego jest osiągana wartość najmniejsza, czyli wyznaczmy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli.

$x_w=\frac{-\left(-2\right)}{2\cdot 9}=\frac{2}{18}=\frac{1}{9}$  

 

Zatem otrzymujemy:

$m=\frac{1}{9}$