$x^2+mx+2=0$  

Równanie ma dwa różne pierwiastki, gdy:

$\Delta >0$  

$m^2-4\cdot 1\cdot 2>0$      

$m^2-8>0$  

$\left(m-2\sqrt{2}\right)\left(m+2\sqrt{2}\right)>0$  

$m\in \left(-\infty ,-2\sqrt{2}\right)\cup \left(2\sqrt{2},+\infty \right)$  

 

Suma kwadratów pierwiastków spełnia:

$x_1^2+x_2^2>2m^2-13$  

${\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2>2m^2-13$  

${\left(-\frac{b}{a}\right)}^2-2\cdot \frac{c}{a}>2m^2-13$  

${\left(-\frac{m}{1}\right)}^2-2\cdot \frac{2}{1}>2m^2-13$  

$m^2-4>2m^2-13$  

$-m^2+9>0$  

$m^2-9<0$  

$\left(m-3\right)\left(m+3\right)<0$  

$m\in \left(-3,3\right)$  

Uwzględniając założenie mamy:

$m\in \left(-3,-2\sqrt{2}\right)\cup \left(2\sqrt{2},3\right)$