Dla m=-1 dana nierówność przyjmuje postać:

$0\cdot x^2-0\cdot x+\left(-1\right)\le 0$  

$-1\le 0$  

Powyższa nierówność jest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej x.

---

Dla m≠-1 mamy nierówność kwadratową. Dana nierówność kwadratowa będzie prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x, jeżeli parabola o równaniu y=(m+1)x²-(m+1)x+m będzie w całości znajdowała się pod osią x. Spełnione muszą być zatem dwa warunki:

• m+1<0  (ramiona paraboli skierowane są do dołu)

$m<-1$  

$m\in \left(-\infty ;-1\right)$  

• Δ<0 (parabola nie ma miejsc zerowych)

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta ={\left(-\left(m+1\right)\right)}^2-4\cdot \left(m+1\right)\cdot m={\left(m+1\right)}^2-4m\left(m+1\right)=m^2+2m+1-4m^2-4m=-3m^2-2m+1$  

Rozwiązujemy nierówność Δ<0.

$-3m^2-2m+1<0$  

${\Delta }_m={\left(-2\right)}^2-4\cdot \left(-3\right)\cdot 1=4+12=16$  

$m_1=\frac{-\left(-2\right)-\sqrt{16}}{2\cdot \left(-3\right)}=\frac{2-4}{-6}=\frac{-2}{-6}=\frac{1}{3}$  

$m_2=\frac{-\left(-2\right)+\sqrt{16}}{2\cdot \left(-3\right)}=\frac{2+4}{-6}=\frac{6}{-6}=-1$  

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą ujemną, więc ramiona paraboli danej równaniem y=-3m²-2m+1 skierowane są do dołu. Zatem:

$m\in \left(-\infty ;-1\right)\cup \left(\frac{1}{3};+\infty \right)$  

Łącząc oba warunki, otrzymujemy, że:

$m\in \left(-\infty ;-1\right)$  

---

Ostatecznie, z obu przypadków, dostajemy, że:

$m\in (-\infty ;-1⟩$