Najpierw rozwiążemy daną nierówność.

$\left|\left|x\right|-2\right|<2$  

Zatem:

$\left|x\right|-2<2\wedge \left|x\right|-2>-2$  

$\left|x\right|<4\wedge \left|x\right|>0$  

$\left(x<4\wedge x>-4\right)\wedge \left(x>0\vee x<0\right)$  

$x\in \left(-4;4\right)\wedge x\in \left(-\infty ;0\right)\cup \left(0;+\infty \right)$  

Stąd:

$x\in \left(-4;0\right)\cup \left(0;4\right)$  

---

Pierwiastki równania należą do zbioru liczb rzeczywistych dodatnich, więc:

$x\in \left(0;4\right)$  

---

Równanie kwadratowe ma pierwiastki, jeżeli △≥0. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego. 

$\Delta ={\left(-2p\right)}^2-4\cdot 1\cdot 4=4p^2-16=4\left(p^2-4\right)$  

Wyznaczamy wartości parametru m, dla których spełniona jest dana nierówność. 

$4\left(p^2-4\right)\ge 0\mid :4$  

$p^2-4\ge 0$  

$\left(p+2\right)\left(p-2\right)\ge 0$  

Wyznaczamy rozwiązania równania (p+2)(p-2)=0.

$p+2=0\vee p-2=0$  

$p-2\vee p=2$  

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią, więc ramiona paraboli skierowane są do góry, zatem:

$p\in (-\infty ;-2⟩\cup ⟨2;+\infty )$  

---

Wierzchołek paraboli musi znajdować się w przedziale (0; 4), bo znajduje się w środku między pierwiastkami, więc:

$0<x_w<4$  

$0<-\frac{-2p}{2\cdot 1}<4$  

$0<p<4$  

---

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią (a=1), więc ramiona paraboli skierowane są do góry. 

Wartości funkcji na końcach przedziału (0; 4) muszą być dodatnie, czyli:

$\left(1\right)f\left(0\right)>0$  

$0^2-2p\cdot 0+4>0$  

$0-0+4>0$  

$4>0$  

Powyższa nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej p.

$p\in \mathbb{R}$  

$\left(2\right)f\left(4\right)>0$  

$4^2-2p\cdot 4+4>0$  

$16-8p+4>0$  

$20-8p>0\mid -20$  

$-8p>-20\mid :\left(-8\right)$  

$p<\frac{5}{2}$  

$p\in \left(-\infty ;\frac{5}{2}\right)$  

---

Łącząc wszystkie warunki, otrzymujemy, że:

$p\in ⟨2;\frac{5}{2})$