Treść:

Spośród poniższych nierówności wskaż tę, którą spełniają dokładnie trzy liczby całkowite.

$A.\left|\frac{3}{4}x+5\right|<2B.\left|\frac{4}{3}x+5\right|<2C.\left|\frac{3}{5}x+4\right|<2D.\left|\frac{4}{5}x+3\right|<2$  

Rozwiązanie:

A. Rozwiążmy tę nierówność:

$\left|\frac{3}{4}x+5\right|<2$  

$\frac{3}{4}x+5<2\wedge \frac{3}{4}x+5>-2$  

$\frac{3}{4}x<-3\wedge \frac{3}{4}x>-7$    

$3x<-12\wedge 3x>-28$  

$x<-4\wedge x>-\frac{28}{3}$  

$x<-4\wedge x>-9\frac{1}{3}$  

zatem:

$x\in \left(-9\frac{1}{3};-4\right)$  

Podaną nierówność spełnia dokładnie 5 liczb całkowitych.

---

B. Rozwiążmy tę nierówność:

$\left|\frac{4}{3}x+5\right|<2$  

$\frac{4}{3}x+5<2\wedge \frac{4}{3}x+5>-2$  

$\frac{4}{3}x<-3\wedge \frac{4}{3}x>-7$  

$4x<-9\wedge 4x>-21$  

$x<-\frac{9}{4}\wedge x>-\frac{21}{4}$  

$x<-2\frac{1}{4}\wedge x>-5\frac{1}{4}$  

zatem:

$x\in \left(-5\frac{1}{4};-2\frac{1}{4}\right)$  

Podaną nierówność spełniają dokładnie 3 liczby całkowite.

---

C. Rozwiążmy tę nierówność:

$\left|\frac{3}{5}x+4\right|<2$  

$\frac{3}{5}x+4<2\wedge \frac{3}{5}x+4>-2$  

$\frac{3}{5}x<-2\wedge \frac{3}{5}x>-6$  

$3x<-10\wedge 3x>-30$  

$x<-\frac{10}{3}\wedge x>-10$  

zatem:

$x\in \left(-10;-\frac{10}{3}\right)$  

Podaną nierówność spełnia dokładnie 6 liczb całkowitych.

---

D. Rozwiążmy tę nierówność:

$\left|\frac{4}{5}x+3\right|<2$  

$\frac{4}{5}x+3<2\wedge \frac{4}{5}x+3>-2$  

$\frac{4}{5}x<-1\wedge \frac{4}{5}x>-5$  

$4x<-5\wedge 4x>-30$  

$x<-\frac{5}{4}\wedge x>-\frac{30}{4}$  

$x<-1\frac{1}{4}\wedge x>-7\frac{1}{2}$  

zatem:

$x\in \left(-7\frac{1}{2};-1\frac{1}{4}\right)$  

Podaną nierówność spełnia dokładnie 6 liczb całkowitych.

 

Odp.: B