Treść:

Dla dowolnych liczb $x>0,x\ne 1,y>0,y\ne 1$   wartość wyrażenia $\left({\log }_{\frac{1}{x}}y\right)\cdot \left({\log }_{\frac{1}{y}}x\right)$   jest równa

$A.x\cdot y$  

$B.\frac{1}{x\cdot y}$  

$C.-1$  

$D.1$  

---

Rozwiązanie:

$\left({\log }_{\frac{1}{x}}y\right)\cdot \left({\log }_{\frac{1}{y}}x\right)=\left({\log }_{\frac{1}{x}}y\right)\cdot \frac{{\log }_{\frac{1}{x}}x}{{\log }_{\frac{1}{x}}\frac{1}{y}}=$      

$=\left({\log }_{\frac{1}{x}}y\right)\cdot \frac{{\log }_{\frac{1}{x}}{\left(\frac{1}{x}\right)}^{-1}}{{\log }_{\frac{1}{x}}1-{\log }_{\frac{1}{x}}y}={\log }_{\frac{1}{x}}y\cdot \frac{-1}{0-{\log }_{\frac{1}{x}}y}=$  

$=\cancel{{\log }_{\frac{1}{x}}y}\cdot \frac{-1}{-\cancel{{\log }_{\frac{1}{x}}y}}=\frac{-1}{-1}=1$  

 

Odp. D