a)

$f\left(x\right)=x-2-\frac{4x-8}{x-5}+\frac{16x-32}{{\left(x-5\right)}^2}-\dots$  

 

Zauważmy, że nasza funkcja jest sumą ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie  $a_1=x-2$  , oraz ilorazie równym:

$q=-\frac{4}{x-5}$  

 

$-1<q<1$  

 

$-1<-\frac{4}{x-5}<1$  

 

 

1)

$-1<-\frac{4}{x-5}$  

 

$0<-\frac{4}{x-5}+1$  

 

$0<-\frac{4}{x-5}+\frac{x-5}{x-5}$  

 

$0<\frac{-4+x-5}{x-5}$  

 

$0<\frac{x-9}{x-5}$  

 

$0<\left(x-9\right)\cdot \left(x-5\right)$  

 

$x\in \left(-\infty ,5\right)\cup \left(9;\infty \right)$    

 

 

 2)

$-\frac{4}{x-5}<1$  

 

$-\frac{4}{x-5}-1<0$  

 

$-\frac{4}{x-5}-\frac{x-5}{x-5}<0$  

 

$\frac{-4-x+5}{x-5}<0$  

 

$\frac{-x+1}{x-5}<0$  

 

$\left(-x+1\right)\cdot \left(x-5\right)<0$  

 

$-\left(x-1\right)\cdot \left(x-5\right)<0$   

 

$x\in \left(-\infty ;1\right)\cup \left(5;\infty \right)$    

 

 

 Liczba  $x$   musi należeć jednocześnie do obu wyznaczonych zbiorów, a więc dziedziną jest zbiór: 

  $x\in \left[\left(-\infty ,5\right)\cup \left(9;\infty \right)\right]\cap \left[\left(-\infty ;1\right)\cup \left(5;\infty \right)\right]=\underline{\left(-\infty ;1\right)\cup \left(9;\infty \right)}$  

 

 

$S=\frac{a_1}{1-q}$   - wzór na sumę wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego

 

$S=\frac{x-2}{1+\frac{4}{x-5}}=\frac{x-2}{\frac{x-5}{x-5}+\frac{4}{x-5}}=\frac{x-2}{\frac{x-5+4}{x-5}}=\frac{x-2}{\frac{x-1}{x-5}}==\left(x-2\right)\cdot \frac{x-5}{x-1}=\frac{\left(x-2\right)\left(x-5\right)}{x-1}=\frac{x^2-5x-2x+10}{x-1}=\frac{x^2-7x+10}{x-1}$        

 

A więc wzór funkcji $f\left(x\right)$   możemy zapisać jako:

$f\left(x\right)=\frac{x^2-7x+10}{x-1}$           

 

Sprawdźmy, czy funkcja posiada ekstrema:

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(x^2-7x+10\right){}^{\prime }\cdot \left(x-1\right)-\left(x^2-7x+10\right)\cdot \left(x-1\right){}^{\prime }}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{\left(2x-7\right)\cdot \left(x-1\right)-\left(x^2-7x+10\right)\cdot 1}{{\left(x-1\right)}^2}=$  

 

$=\frac{2x^2-2x-7x+7-x^2+7x-10}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{x^2-2x-3}{{\left(x-1\right)}^2}$      

 

  

$\frac{x^2-2x-3}{{\left(x-1\right)}^2}=0$     

 

$x^2-2x-3=0$  

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-3\right)=4+12=16$  

$\sqrt{16}=4$  

 

$x_1=\frac{2-4}{2}=\frac{-2}{2}=-1$  

 

$x_2=\frac{2+4}{2}=\frac{6}{2}=3$   - ten punkt nie należy jednak do rozpatrywanej dziedziny, więc nie może być on ekstremum.

 

Szkic wykresu pochodnej:

 

Funkcja posiada maksimum dla  $x=-1$  

$f\left(-1\right)=\frac{{\left(-1\right)}^2-7\cdot \left(-1\right)+10}{-1-1}=\frac{1+7+10}{-2}=\frac{18}{-2}=-9$  

 

Gdybyśmy rozpatrywali dziedzinę  $x\in \mathbb{R}$  , to: 

Funkcja posiada minimum dla  $x=3$  

$f\left(x\right)=\frac{3^2-7\cdot 3+10}{3-1}=\frac{9-21+10}{2}=-1$     

 

      

     

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x^2-7x+10}{x-1}=\frac{4}{0^{+}}=+\infty$  

 

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2-7x+10}{x-1}=\frac{4}{0^{-}}=-\infty$  

 

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2-7x+10}{x-1}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x\left(x-7+\frac{10}{x}\right)}{x\left(1-\frac{1}{x}\right)}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x-7+\frac{10}{x}}{1-\frac{1}{x}}=\infty$     

 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2-7x+10}{x-1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x\left(x-7+\frac{10}{x}\right)}{x\left(1-\frac{1}{x}\right)}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x-7+\frac{10}{x}}{1-\frac{1}{x}}=-\infty$  

 

 

Szkic wykresu:

    

$f\left(x\right)>1$  

Nierówność jest spełniona dla: 

$x>9$     

 

 

 

---

---

 

b)

$f\left(x\right)=1+x+\frac{1}{x}+\frac{x}{2}+\frac{1}{x^2}+\frac{x}{4}+\dots$  

 

Dany funkcję możemy potraktować jako sumę wyrazów dwóch ciągów geometrycznych:

1)

$1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\dots$  

$a_1=1$  

$q=\frac{1}{x}$  

 

$-1<q<1$            

$-1<\frac{1}{x}<1$  

 

  $-1<\frac{1}{x}$  

$0<\frac{1}{x}+1$  

$0<\frac{1+x}{x}$  

$0<\left(1+x\right)\cdot x$  

$x\in \left(-\infty ;-1\right)\cup \left(0;\infty \right)$       

 

$\frac{1}{x}<1$  

$\frac{1}{x}-1<0$  

$\frac{1-x}{x}<0$  

$\left(1-x\right)\cdot \left(x\right)<0$  

$x\in \left(-\infty ;0\right)\cup \left(1;\infty \right)$  

 

 

A więc:

$x\in \left(-\infty ;-1\right)\cup \left(1;\infty \right)$        

 

$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{1}{x}}=\frac{1}{\frac{x-1}{x}}=\frac{x}{x-1}$  

 

 

2)

$x+\frac{x}{2}+\frac{x}{4}+\dots$  

$a_1=x$  

$q=\frac{1}{2}$  

$-1>\frac{1}{2}>1$  

 

$S=\frac{x}{1-\frac{1}{2}}=\frac{x}{\frac{1}{2}}=2x$  

 

A więc:

$f\left(x\right)=\frac{x}{x-1}+2x=\frac{x-1+1}{x-1}+2x=\frac{x-1}{x-1}+\frac{1}{x-1}+2x=2x+1+\frac{1}{x-1}$         

$x\in \left(-\infty ;-1\right)\cup \left(1;\infty \right)$   

 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=2+\frac{1{}^{\prime }\cdot \left(x-1\right)-1\cdot \left(x-1\right){}^{\prime }}{{\left(x-1\right)}^2}=2-\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}$  

 

Wyznaczmy ekstrema:

$2-\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}=0$      

 

$\frac{2{\left(x-1\right)}^2-1}{{\left(x-1\right)}^2}=0$  

 

$2{\left(x-1\right)}^2-1=0$  

 

$2x^2-4x+2-1=0$  

 

$2x^2-4x+1=0$  

 

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 2\cdot 1=16-8=8$  

$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$  

 

$x_1=\frac{4-2\sqrt{2}}{2\cdot 2}=\frac{4-2\sqrt{2}}{4}=1-\frac{\sqrt{2}}{2}<1$    - zauważmy, że ten punkt nie należy do rozpatrywanej dziedziny

 

$x_2=\frac{4+2\sqrt{2}}{2\cdot 2}=\frac{4+2\sqrt{2}}{4}=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$  

 

Szkic wykresu paraboli:

 

Funkcja posiada minimum w  $x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$   

     

$f\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=2\cdot \left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+1+\frac{1}{1+\frac{\sqrt{2}}{2}-1}=2+\sqrt{2}+1+\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=3+\sqrt{2}+\frac{2}{\sqrt{2}}=3+\sqrt{2}+\frac{2\sqrt{2}}{2}=\underline{3+2\sqrt{2}}$  

 

 

Gdyby dziedziną funkcji był cały zbiór liczb rzeczywistych, to funkcja miałaby maksimum w  $x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$      

$f\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=2\cdot \left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+1+\frac{1}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}-1}=2-\sqrt{2}+1+\frac{1}{-\frac{\sqrt{2}}{2}}=3-\sqrt{2}-\frac{2}{\sqrt{2}}=3-\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{2}}{2}=\underline{3-2\sqrt{2}}$     

 

 

$f\left(x\right)=2x+1+\frac{1}{x-1}=\frac{2x\left(x-1\right)}{x-1}+\frac{x-1}{x-1}+\frac{1}{x-1}=\frac{2x\left(x-1\right)+x-1+1}{x-1}=\frac{2x^2-2x+x}{x-1}=\frac{2x^2-x}{x-1}$  

 

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x^2-x}{x-1}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x\left(2x-1\right)}{x\left(1-\frac{1}{x}\right)}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x-1}{1-\frac{1}{x}}=\infty$  

 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x^2-x}{x-1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x\left(2x-1\right)}{x\left(1-\frac{1}{x}\right)}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x-1}{1-\frac{1}{x}}=-\infty$  

 

 

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{2x^2-x}{x-1}=\frac{3}{0^{+}}=+\infty$  

 

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{2x^2-x}{x-1}=\frac{3}{0^{-}}=-\infty$  

 

Szkic wykresu:

 

Nierówność:

$f\left(x\right)>1$  

jest spełniona dla:

$x>1$