a)

$f\left(x\right)=\left|x^3+3x+4\right|$  

 

narysujmy wykres funkcji  $g\left(x\right)=x^3+3x+4$  

 

Wyznaczmy miejsca zerowe:  

$x^3+3x+4=0$  

Zauważmy, że  $x=-1$   jest pierwiastkiem tego równania - wielomian  $w\left(x\right)=x^3+3x+4$   możemy więc podzielić przez dwumian  $x+1$  :

$\left(x+1\right)\left(x^2-x+4\right)=0$  

$x^2-x+4=0$  

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot 4=1-16=-15<0$  

 

A więc jedynym miejscem zerowym jest

$x_0=-1$  

 

Sprawdźmy, czy funkcja posiada ekstrema:

$g{}^{\prime }\left(x\right)=3x^2+3$  

 

$3x^2+3=0$  

 

$3x^2=-3$  

$x^2=-1$   - a więc funkcja nie posiada ekstremów.

 

$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(x^3+3x+4\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }\left(x^3\left(1+\frac{3}{x^2}+\frac{4}{x^3}\right)\right)=\infty \cdot 1=\infty$   

 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^3+3x+4\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^3\left(1+\frac{3}{x^2}+\frac{4}{x^3}\right)\right)=-\infty \cdot 1=-\infty$  

 

Szkic wykresu funkcji  $g\left(x\right)$  :     

    

 

 

Szkic wykres funkcji  $f\left(x\right)$  :

Na wykresie widzimy, że funkcja przyjmuje wartość minimum dla argumentu  $x=-1$  

$f\left(-1\right)=0$    

Funkcja nie ma pochodnej w punkcie  $x=-1$   

 

 

b) 

$f\left(x\right)=\frac{\left|1-x^2\right|}{1+x^2}$  

 

$g\left(x\right)=\frac{1-x^2}{1+x^2}$  

 

Dziedzina:  

$1+x^2\ne 0$  

$x^2\ne -1$   

$x\in \mathbb{R}$        

 

Miejsca zerowe:

$\frac{1-x^2}{1+x^2}=0$  

$1-x^2$  

$1=x^2$  

$x_1=1$  

$x_2=-1$  

 

Sprawdźmy, czy funkcja  $g\left(x\right)$   posiada ekstrema:

  $g{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(1-x^2\right){}^{\prime }\cdot \left(1+x^2\right)-\left(1-x^2\right)\cdot \left(1+x^2\right){}^{\prime }}{{\left(1+x^2\right)}^2}=\frac{-2x\cdot \left(1+x^2\right)-\left(1-x^2\right)\cdot 2x}{{\left(1+x^2\right)}^2}=$  

 

$=\frac{-2x-2x^3-\left(2x-2x^3\right)}{{\left(1+x^2\right)}^2}=\frac{-2x-2x^3-2x+2x^3}{{\left(1+x^2\right)}^2}=\frac{-4x}{{\left(1+x^2\right)}^2}$  

 

$\frac{-4x}{{\left(1+x^2\right)}^2}=0$  

 

$-4x=0$  

$x=0$   - a więc funkcja  $g\left(x\right)$   posiada ekstremum w punkcie  $x=0$  

$g\left(0\right)=\frac{1-0^2}{1+0^2}=1$       

 

$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{x^2\left(\frac{1}{x^2}-1\right)}{x^2\left(\frac{1}{x^2}+1\right)}\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{\frac{1}{x^2}-1}{\frac{1}{x^2}+1}\right)=-1$  

 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{x^2\left(\frac{1}{x^2}-1\right)}{x^2\left(\frac{1}{x^2}+1\right)}\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{\frac{1}{x^2}-1}{\frac{1}{x^2}+1}\right)=-1$  

 

Szkic funkcji  $g\left(x\right)$  :

                 

 

 

Szkic wykresu funkcji  $f\left(x\right)$  :

 

Funkcja przyjmuje maksimum w  $x=0$  

$f\left(0\right)=1$  

  

Funkcja przyjmuje minimum w  $x=-1$   oraz  $x=1$  

$f\left(1\right)=f\left(-1\right)=0$  

 

Funkcja nie posiada pochodnej w punktach  $x=-1$   oraz $x=1$      

 

 

---

---

c)

$f\left(x\right)=\frac{\left|x^2-x-2\right|}{x^2}$  

 

Dziedzina:

$x^2\ne 0$  

$x\ne 0$  

 

$g\left(x\right)=\frac{x^2-x-2}{x^2}$  

 

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(\frac{x^2-x-2}{x^2}\right)=\frac{-2}{0^{+}}=-\infty$  

 

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(\frac{x^2-x-2}{x^2}\right)=\frac{-2}{0^{+}}=-\infty$  

 

 

Miejsca zerowe:        

$\frac{x^2-x-2}{x^2}=0$  

 

$x^2-x-2=0$  

 

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=1+8=9$  

$\sqrt{\Delta }=3$  

 

$x_1=\frac{1+3}{2\cdot 1}=\frac{4}{2}=2$  

 

$x_2=\frac{1-3}{2\cdot 1}=\frac{-2}{2}=-1$  

 

Ekstrema:

$g{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(x^2-x-2\right){}^{\prime }\cdot x^2-\left(x^2-x-2\right)\cdot \left(x^2\right){}^{\prime }}{{\left(x^2\right)}^2}=\frac{\left(2x-1\right)\cdot x^2-\left(x^2-x-2\right)\cdot 2x}{x^4}=$  

 

$=\frac{2x^3-x^2-2x^3+2x^2+4x}{x^4}=\frac{x^2+4x}{x^4}=\frac{x+4}{x^3}$  

 

$\frac{x+4}{x^3}=0$  

$x+4=0$  

$x=-4$   - funkcja  $g\left(x\right)$   posiada ekstremum w  $x=-4$  

 

$g\left(-4\right)=\frac{{\left(-4\right)}^2+4-2}{{\left(-4\right)}^2}=\frac{16+4-2}{16}=\frac{18}{16}=\frac{9}{8}$          

          

    

$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{x^2-x-2}{x^2}\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{x^2\left(1-\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}\right)}{x^2}\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }\left(1-\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}\right)=1$  

 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{x^2-x-2}{x^2}\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{x^2\left(1-\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}\right)}{x^2}\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(1-\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}\right)=1$  

 

 

Wykres funkcji  $g\left(x\right)$  :

  

 

 

Wykres funkcji  $f\left(x\right)$  :

 

Funkcja  $f\left(x\right)$   ma  maksimum w  $x=-4$

$f\left(-4\right)=g\left(-4\right)=\frac{9}{8}$  

 

Funkcja  $f\left(x\right)$   ma minima  $x=-1$   oraz  $x=2$  

$f\left(-1\right)=f\left(2\right)=0$  

 

Funkcja nie ma pochodnej w punktach  $x=-1$   oraz  $x=2$