a)

$f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x$  

 

Wyznaczmy miejsca zerowe:

$0=x^3-6x^2+9x$    

$0=x\left(x^2-6x+9\right)$  

 

$x_1=0$  

 

$x^2-6x+9=0$  

 

${\left(x-3\right)}^2=0$  

$x-3=0$  

$x_2=3$   - zauważmy, że jest to pierwiastek podwójny!

 

 

Obliczmy pochodną i wyznaczmy ekstrema:

$f{}^{\prime }\left(x\right)=3x^2-6x+9$  

 

$3x^2-12x+9=0\mid :3$  

 

$x^2-4x+3=0$  

 

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4$  

 

$x_1=\frac{4-2}{2\cdot 1}=\frac{2}{2}=1$  

 

$x_2=\frac{4+2}{2\cdot 1}=\frac{6}{2}=3$  

 

Szkic wykresu pochodnej:

 

  

Pochodna w  $x=1$   zmienia znak z dodatniego na ujemny - więc funkcja w tym miejscu posiada maksimum. 

  

Pochodna w  $x=3$    zmienia znak z ujemnego na dodatni - więc funkcja w tym miejscu posiada minimum.

 

$f\left(1\right)=1^3-6\cdot 1^2+9\cdot 1=1-6+9=4$  

 

$f\left(3\right)=3^3-6\cdot 3^2+9\cdot 3=27-54+27=0$  

 

$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(x^3-6x^2+9x\right)=\infty$  

 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^3-6x^2+9x\right)=-\infty$  

 

Szkic wykresu:

 

 

Dorysujmy prostą opisaną równaniem  $y=2$  :

 

Narysowana prosta posiada 3 punkty wspólne z wykresem.

A więc równanie  $f\left(x\right)=2$   posiada 3 rozwiązania. 

 

 

---

---

b)

$f\left(x\right)=x^4-2x^{+}1$  

 

Miejsca zerowe:

$x^4-2x^2+1=0$  

${\left(x^2-1\right)}^2=0$  

$x^2-1=0$  

$x^2=1$  

$x_1=1$  

$x_2=-1$            

 

Pochodna:

$f{}^{\prime }\left(x\right)=4x^3-4x$  

 

$4x^3-4x=0\mid :4$   

$x^3-x=0$    

$x\left(x^2-1\right)=0$  

$x\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0$  

 

Naszkicujmy wykres pochodnej:

  

W  $x=-1$   pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni - a więc funkcja w tym punkcie posiada minimum.

W  $x=0$   pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny - a więc funkcja w tym punkcie posiada maksimum.  

W  $x=1$   pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni - a więc funkcja w tym punkcie posiada minimum.

 

$f\left(-1\right)={\left(-1\right)}^4-2\cdot {\left(-1\right)}^2+1=1-2+1=0$  

 

$f\left(1\right)=1^4-2\cdot 1^2+1=1-2+1=0$  

 

$f\left(0\right)=1$  

 

$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(x^4-2x^2+1\right)=\infty$  

 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^4-2x^2+1\right)=\infty$  

 

Naszkicujmy wykres:

 

Równanie

$f\left(x\right)=2$  

Posiada 2 rozwiązania. 

 

 

---

---

c) 

  $f\left(x\right)=\frac{6-6x}{x^2+3}$  

 

Dziedzina:

$x^2+3\ne 0$  

$x^2\ne -3$  

 

A więc:

$x\in \mathbb{R}$       

 

Miejsca zerowe:

$\frac{6-6x}{x^2+3}=0$  

$6-6x=0$  

$6=6x\mid :6$  

$x=1$  

 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(6-6x\right){}^{\prime }\cdot \left(x^2+3\right)-\left(6-6x\right)\cdot \left(x^2+3\right){}^{\prime }}{{\left(x^2+3\right)}^2}=\frac{-6\cdot \left(x^2+3\right)-\left(6-6x\right)\cdot 2x}{{\left(x^2+3\right)}^2}=\frac{-6x^2-18-12x+12x^2}{{\left(x^2+3\right)}^2}=\frac{6x^2-12x-18}{{\left(x^2+3\right)}^2}$  

 

$\frac{6x^2-12x-18}{{\left(x^2+3\right)}^2}=0$  

 

$6x^2-12x-18=0\mid :6$  

 

$x^2-2x-3=0$  

 

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-3\right)=4+12=16$  

$\sqrt{\Delta }=4$  

 

$x_1=\frac{2+4}{2\cdot 1}=\frac{6}{2}=3$  

 

$x_2=\frac{2-4}{2\cdot 1}=-\frac{2}{2}=-1$   

     

      

Szkic wykresu pochodnej:

     

Funkcja ma maksimum w punkcie  $x=-1$  

Funkcja ma minimum w punkcie  $x=3$  

 

$f\left(-1\right)=\frac{6-6\cdot \left(-1\right)}{{\left(-1\right)}^2+3}=\frac{6+6}{1+3}=3$  

 

$f\left(3\right)=\frac{6-6\cdot 3}{3^2+3}=\frac{6-18}{12}=-1$  

 

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{6-6x}{x^2+3}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2\left(\frac{6}{x^2}-\frac{6}{x}\right)}{x^2\left(1+\frac{3}{x^2}\right)}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\frac{6}{x^2}-\frac{6}{x}}{1+\frac{3}{x^2}}=\frac{0-0}{1+0}=\frac{0}{1}=0$   

 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{6-6x}{x^2+3}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2\left(\frac{6}{x^2}-\frac{6}{x}\right)}{x^2\left(1+\frac{3}{x^2}\right)}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\frac{6}{x^2}-\frac{6}{x}}{1+\frac{3}{x^2}}=\frac{00}{1+0}=\frac{0}{1}=0$  

 

Punkt przecięcia z osią OY:

$f\left(0\right)=\frac{6-6\cdot 0}{0^2+3}=\frac{6}{3}=2$  

 

Szkic wykresu funkcji:

       

 

 

Dorysujmy prostą o równaniu  $y=2$  :

 

Równanie  $f\left(x\right)=2$   posiada 2 rozwiązania.

 

---

---

d)

$f\left(x\right)=\frac{4-x^2}{x^2+1}$  

 

Dziedzina:

$x^2+1\ne 0$  

$x^2\ne -1$  

A więc:

$x\in \mathbb{R}$  

 

Miejsca zerowe:

$\frac{4-x^2}{x^2+1}=0$  

$4-x^2=0$  

$4=x^2$  

$x_1=2$  

$x_2=-2$  

 

Pochodna:

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(4-x^2\right){}^{\prime }\cdot \left(x^2+1\right)-\left(4-x^2\right)\cdot \left(x^2+1\right){}^{\prime }}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{-2x\cdot \left(x^2+1\right)-\left(4-x^2\right)\cdot 2x}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{-2x^3-2x-8x+2x^3}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{-10x}{{\left(x^2+1\right)}^2}$         

       

Szukamy ekstremów.

$-10x=0$  

$x=0$  

$f\left(0\right)=\frac{4-0^2}{0^2+1}=4$  

 

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{4-x^2}{x^2+1}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2\left(\frac{4}{x^2}-1\right)}{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\frac{4}{x^2}-1}{1+\frac{1}{x^2}}=-\frac{1}{1}=-1$  

 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{4-x^2}{x^2+1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2\left(\frac{4}{x^2}-1\right)}{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\frac{4}{x^2}-1}{1+\frac{1}{x^2}}=-\frac{1}{1}=-1$   

 

 

Wykres:

 

 

Równanie  $f\left(x\right)=2$   posiada 2 rozwiązania.

 

 

---

---

e)

$f\left(x\right)=\frac{2x+2}{\left(x^2+2x+2\right)}$  

 

Dziedzina:

$x^2+2x+2\ne 0$  

$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot 2=4-8=-4<0$  

A więc:

$x\in \mathbb{R}$      

 

Miejsca zerowe:

$0=\frac{2x+2}{\left(x^2+2x+2\right)}$  

$2x+2=0$  

$2x=-2$  

$x_0=-1$  

 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(2x+2\right){}^{\prime }\cdot \left(x^2+2x+2\right)-\left(2x+2\right)\cdot \left(x^2+2x+2\right){}^{\prime }}{{\left(x^2+2x+2\right)}^2}=\frac{2\cdot \left(x^2+2x+2\right)-\left(2x+2\right)\cdot \left(2x+2\right)}{{\left(x^2+2x+2\right)}^2}=$  

 

$=\frac{2x^2+4x+4-\left(4x^2+8x+4\right)}{{\left(x^2+2x+2\right)}^2}=\frac{2x^2+4x+4-4x^2-8x-4}{{\left(x^2+2x+2\right)}^2}=\frac{-2x^2-4x}{{\left(x^2+2x+2\right)}^2}$  

 

$-2x^2-4x=0$  

$-2x\left(x+2\right)=0$  

 

Szkic wykresu pochodnej:

                

Funkcja ma minimum w  $x=-2$  

Funkcja ma maksimum w  $x=0$  

 

$f\left(-2\right)=\frac{2\cdot \left(-2\right)+2}{{\left(-2\right)}^2+2\cdot \left(-2\right)+2}=\frac{-4+2}{4-4+2}=-1$   

$f\left(0\right)=\frac{2\cdot 0+2}{0^2+2\cdot 0+2}=\frac{2}{2}=1$   

 

 

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x+2}{x^2+2x+2}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2\left(\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}\right)}{x^2\left(1+\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}\right)}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}}{1+\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}}=\frac{0}{1}=0$  

 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x+2}{x^2+2x+2}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2\left(\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}\right)}{x^2\left(1+\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}\right)}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}}{1+\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}}=\frac{0}{1}=0$            

 

Wykres:

Równanie  $f\left(x\right)=2$   nie posiada rozwiązań.

 

---

---

f)

$f\left(x\right)=\frac{3-x^2-2x}{x^2+2x+3}$  

 

Dziedzina:

$x^2+2x+3\ne 0$  

$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot 3=4-12=-8<0$  

$x\in \mathbb{R}$  

 

Miejsca zerowe:

$\frac{3-x^2-2x}{x^2+2x+3}=0$  

$3-x^2-2x=0$  

$-x^2-2x+3=0$  

 

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 3=4+12=16$  

$\sqrt{\Delta }=4$  

 

$x_1=\frac{2-4}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-2}{-2}=1$  

 

$x_2=\frac{2+4}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{6}{-2}=-3$  

 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(3-x^2-2x\right){}^{\prime }\cdot \left(x^2+2x+3\right)-\left(3-x^2-2x\right)\cdot \left(x^2+2x+3\right){}^{\prime }}{{\left(x^2+2x+3\right)}^2}=\frac{\left(-2x-2\right)\cdot \left(x^2+2x+3\right)-\left(3-x^2-2x\right)\cdot \left(2x+2\right)}{{\left(x^2+2x+3\right)}^2}=$  

 

$=\frac{\left(-2x-2\right)\cdot \left(x^2+2x+3\right)+\left(3-x^2-2x\right)\cdot \left(-2x-2\right)}{{\left(x^2+2x+3\right)}^2}=\frac{\left(-2x-2\right)\cdot \left(x^2+2x+3+3-x^2-2x\right)}{{\left(x^2+2x+3\right)}^2}=$  

 

$=\frac{\left(-2x-2\right)\cdot 6}{{\left(x^2+2x+3\right)}^2}=\frac{-12x-12}{{\left(x^2+2x+3\right)}^2}$  

 

 

$\frac{-12x-12}{{\left(x^2+2x+3\right)}^2}=0$           

$-12x-12=0$  

$-12=12x$  

$-1=x$  

 

A więc funkcja posiada ekstremum w punkcie  $x=-1$  

$f\left(-1\right)=\frac{3-{\left(-1\right)}^2-2\cdot \left(-1\right)}{{\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)+3}=\frac{3-1+2}{1-2+3}=\frac{4}{2}=2$  

 

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{3-x^2-2x}{x^2+2x+3}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2\left(\frac{3}{x^2}-1-\frac{2}{x}\right)}{x^2\left(1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}\right)}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\frac{3}{x^2}-1-\frac{2}{x}}{1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}=\frac{-1}{1}=-1$   

 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3-x^2-2x}{x^2+2x+3}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2\left(\frac{3}{x^2}-1-\frac{2}{x}\right)}{x^2\left(1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}\right)}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\frac{3}{x^2}-1-\frac{2}{x}}{1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}=\frac{-1}{1}=-1$    

 

 

Punkt przecięcia z osią OY:

$f\left(x\right)=\frac{3-0^2-2\cdot 0}{0^2+2\cdot 0+3}=\frac{3}{3}=1$  

 

Wykres:

 

 

               

      

Równanie

$f\left(x\right)=2$  

Posiada 1 rozwiązanie.