a)
Jeżeli pochodna w określonym przedziale przyjmuje wartości dodatnie, to funkcja jest rosnąca.
Jeżeli pochodna w określonym przedziale przyjmuje wartości ujemne, to funkcja jest malejąca.
f(x)=x3+3x2−9x+5
f′(x)=3x2+6x−9
3x2+6x−9=0 ∣:3
x2+2x−3=0
Δ=22−4⋅1⋅(−3)=4+12=16
x1=2−2−4=−3
x2=2−2+4=1
Naszkicujmy wykres pochodnej:
Funkcja rośnie w przedziałach:
x∈(−∞;−3⟩ oraz ⟨1;∞)
Funkcja maleje w przedziale:
x∈⟨−3;1⟩
b)
f(x)=53x5−5x3+12x−3
f′(x)=3x4−15x2+12
3x4−15x2+12=0 ∣:3
x4−5x2+4=0
Dokonajmy podstawienia:
x2=t; t>0
t2−5t+4=0
Δ=(−5)2−4⋅1⋅4=25−16=9
Δ=3
t1=25−3=1
t2=25+3=4
x2=t1
x2=1
x=1 lub x=−1
x2=t2
x2=4
x=2 lub x=−2
Naszkicujmy wykres pochodnej:
Jeżeli w danym przedziale pochodna jest dodatnia, to funkcja jest rosnąca.
Jeżeli w danym przedziale pochodna jest ujemna, to funkcja jest malejąca.
Funkcja rośnie w przedziałach:
(−∞,−2⟩ ; ⟨−1;1⟩ oraz ⟨2;∞)
Funkcja maleje w przedziałach:
⟨−2;−1⟩ ; oraz ⟨1;2⟩
c)
f(x)=(x−3)2(x+3)2=((x−3)(x+3))2=(x2−9)2=x4−18x2+81
f′(x)=4x3−36x
4x3−36x=0 ∣:4
x3−9x=0
x(x−9)=0
x(x−3)(x+3)=0
Szkic wykresu pochodnej:
Funkcja rośnie w przedziałach:
⟨−3,0⟩ oraz ⟨3;∞)
Funkcja maleje w przedziałach:
(−∞;−3⟩ oraz ⟨0;3⟩
d)
f(x)=(x−x3)(2x2+1)=2x3+x−2x5−x3=−2x5+x3+x
f′(x)=−10x4+3x2+1
−10x4+3x2+1=0
Zastosujmy podstawienie:
x2=t; t>0
−10t2+3t+1=0
Δ=32−4⋅(−10)⋅1=9+40=49
Δ=7
t1=2⋅(−10)−3−7=−20−10=21
t2=2⋅(−10)−3+7=−204=−51<0
x2=t1
x2=21
x1=21=22
x2=−21=−22
Wykonajmy szkic pochodnej:
Funkcja rośnie w przedziale:
x∈⟨−22;22⟩
Maleje w przedziałach:
(−∞;−22⟩ oraz ⟨22;∞)
e)
f(x)=x2+3x−4x2−3x+4
Dziedzina:
x2+3x−4=0
Δ=32−4⋅1⋅(−4)=9+16=25
Δ=5
x1=2⋅1−3+5=22=1
x2=2⋅1−3−5=2−8=−4
x∈R \ {1;−4}
Pochodna:
f′(x)=(x2+3x−4)2(x2−3x+4)′⋅(x2+3x−4)−(x2−3x+4)⋅(x2+3x−4)′=
=((x+4)(x−1))2(2x−3)⋅(x2+3x−4)−(x2−3x+4)⋅(2x+3)=
=((x−1)(x+4))22x3+6x2−8x−3x2−9x+12−(2x3+3x2−6x2−9x+8x+12)=
=((x−1)(x+4))22x3+6x2−8x−3x2−9x+12−2x3−3x2+6x2+9x−8x−12=
=((x−1)(x+4))26x2−16x
Wyznaczmy przedział, dla którego pochodna przyjmuje wartości dodatnie:
(x−1)(x+24)26x2−16x>0
(6x2−16x)⋅((x−1)(x+4))2>0
x⋅(6x−16)⋅(x−1)2⋅(x+4)2>0
Miejsca zerowe:
x1=0
6x−16=0
6x=16 ∣:6
x2=38
x3=1
x4=−4
Szkic wykresu pochodnej:
Pamiętajmy, że liczby x=−4 oraz x=1 nie należą do dziedziny!
Funkcja rośnie w przedziałach:
(−∞;−4) ; (−4,0⟩ oraz ⟨38;∞)
Funkcja maleje w przedziałach:
⟨0,1) oraz: (1;38⟩
f)
f(x)=x2−14x2+5−x+14x=(x−1)(x+1)4x2+5−(x+1)(x−1)4x(x−1)=(x+1)(x−1)4x2+5−4x(x−1)=
=(x+1)(x−1)4x2+5−4x2+4x=(x+1)(x−1)5+4x
Dziedzina:
x=1
x=−1
Pochodna:
f′(x)=(x2−1)2(5+4x)′⋅(x2−1)−(5+4x)⋅(x2−1)=
=(x2−1)24⋅(x2−1)−(5+4x)⋅2x=
=(x2−1)24x2−4−10x−8x2=
=(x2−1)2−4x2−4−10x
Wyznaczmy przedział, dla którego pochodna przyjmuje wartości dodatnie:
(x2−1)2−4x2−4−10x>0
(−4x2−4−10x)⋅((x2−1)2)>0
(−4x2−4−10x)⋅(x−1)2(x+1)2>0
−4x2−4−10x=0 ∣:(−2)
2x2+5x+2=0
Δ=52−4⋅2⋅2=25−16=9
x1=2⋅2−5+3=−42=−21
x2=2⋅2−5−3=−48=−2
−4(x+2)(x+21)⋅(x−1)2(x+1)2>0
Szkic wykresu pochodnej:
Pamiętajmy, że liczby 1,−1 nie należą do dziedziny!
Funkcja rośnie w przedziałach:
⟨−2;−1) oraz (−1;−21⟩
Funkcja maleje w przedziałach:
(−∞;−2⟩ ; ⟨−21;1) oraz (1;∞)
