Wykonajmy rysunek pomocniczy:

$\left|BC\right|=a$  

 

Chcemy pokazać, że

$\left|CP\right|=\frac{2}{3}a$    

 

Pokażemy, że odcinek |CP| jest 2 razy dłuższy od odcinka |PB|.

 

Połączmy punkt S z punktem C:

 

Popatrzmy na trójkąt ASC - zauważmy, że możemy go podzielić na dwa mniejsze trójkąty - ASD oraz SDC. Ponieważ mają one takie same podstawy (|AD| = |CD|), to ich pola są sobie równe:

 

 

Podobnie w trójkącie ABD - możemy podzielić go na dwa mniejsze trójkąty ADS i ASB, które mają równe pola:

 

Wynika z tego, że:

$P_{CDS}=P_{ASD}=P_{ABS}$  

 

Zauważmy, że skoro

$P_{ASC}=2\cdot P_{ASD}$  , to również  zachodzi równość:

$P_{ASC}=2\cdot P_{ASB}$    (wybieramy konkretnie te dwa trójkąty, ponieważ mają one wspólną podstawę AS)

 

Dorysujmy wysokości w obu tych trójkątach:

 

$P_{ASC}=\frac{1}{2}\cdot h_1\cdot \left|AS\right|$  

$P_{ASB}=\frac{1}{2}\cdot h_2\cdot \left|AS\right|$  

 

$\frac{1}{2}\cdot h_1\cdot \left|AS\right|=2\cdot \frac{1}{2}\cdot h_2\cdot \left|AS\right|\left|:\right|AS\mid$  

$\frac{1}{2}{h}_1=h_2\mid \cdot 2$  

$h_1=2h_2$  

           

 

Zauważmy, że trójkąty CPE oraz FPB są podobne - oba są trójkątami prostokątnymi, a kąty zaznaczone na czerwono są parą kątów wierzchołkowych - a więc mają one równe miary.

 

Skala podobieństwa wynosi 2, a więc

$\left|CP\right|=2\cdot \left|PB\right|$  

 

A zatem

$\left|CP\right|=\frac{2}{3}\cdot \left|AB\right|=\frac{2}{3}a$  , co należało pokazać.