Wykonajmy rysunek pomocniczy:

 

Zauważmy, że kąt MAD ma taką samą miarę jak kąt NDE, a kąt AME ma taką samą miarę jak kąt DNE (wiemy, że proste DC oraz AB są równoległe):

 

Wynika z tego, że trójkąt AME jest podobny do trójkąta DEN.

 

Skala podobieństwa wynosi:

$k=\frac{\left|ED\right|}{\left|AE\right|}=\frac{2y}{3y}=\frac{2}{3}$  

 

Z tego wynika, że:

$\frac{\left|DN\right|}{\left|AM\right|}=\frac{2}{3}$  

 

$\left|DN\right|=\frac{2}{3}\left|AM\right|$  

 

 

 

Zauważmy, że kąty DPN oraz MPB mają takie same miary - tworzą one parę kątów wierzchołkowych.

Kąty MBP oraz PDN również mają równe miary - tworzą one parę kątów naprzemianległych:

Z tego wynika, że trójkąty PDN oraz MPB są podobne na podstawie cechy kąt - kąt - kąt (skoro mają 2 kąty o tej samej mierze, to miary trzeciego kąta również są równe).

 

Z tego wynika, że:

$\frac{\left|BP\right|}{\left|BM\right|}=\frac{\left|DP\right|}{\left|DN\right|}$   

 

$\left|BP\right|=\frac{\left|DP\right|\cdot \left|BM\right|}{\left|DN\right|}$   

 

Wiemy, że:

$\left|BM\right|=4\left|AM\right|$  

 

Możemy więc zapisać:  

$\left|BP\right|=\frac{\stackrel{=|BM|}{\overbrace{4\left|AM\right|}}\cdot \left|DP\right|}{\left|DN\right|}$          

 

Wiemy również, że:

$\left|DN\right|=\frac{2}{3}\left|AM\right|$  

 

A zatem: 

$\left|BP\right|=\frac{4\left|AM\right|\cdot \left|DP\right|}{\frac{2}{3}\left|AM\right|}=\frac{4\cdot \left|DP\right|}{\frac{2}{3}}=\sout{4}{}^2\cdot \left|DP\right|\cdot \frac{3}{\sout{2}{}_1}=6\left|DP\right|$  

 

$\underline{\left|BP\right|=6\left|DP\right|}$  , co należało pokazać.