Wykonajmy rysunek pomocniczy:

 

Skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa i obliczmy długość odcinka AB:

$9^2+{12}^2={\left|AB\right|}^2$  

 

$81+144={\left|AB\right|}^2$  

 

$225={\left|AB\right|}^2$  

 

$15=\left|AB\right|$  

 

$\left|AD\right|=15-9=6$  

     

 

 

Obliczmy pole trójkąta ABC:

$P_{ABC}=\frac{1}{\sout{2}{}_1}\cdot 9\cdot \sout{12}{}^6=54$  

 

Pole trójkąta BCD stanowi  $\frac{9}{15}$   pola trójkąta ABC (ponieważ podstawa $BD$   stanowi  $\frac{9}{15}$   podstawy AB):

$P_{BCD}=\frac{\sout{9}{}^3}{\sout{15}{}_5}\cdot 54=\underline{\frac{162}{5}}$      

 

---

Wyznaczmy cosinus kąta CBD:

$\cos \beta =\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$  

 

Skorzystajmy z twierdzenia cosinusów i wyznaczmy długość odcinka CD:

${\left|CD\right|}^2=9^2+9^2-2\cdot 9\cdot 9\cdot \cos \beta$  

 

${\left|CD\right|}^2=81+81-162\cdot \frac{3}{5}$  

 

${\left|CD\right|}^2=162-\frac{486}{5}$  

 

${\left|CD\right|}^2=\frac{324}{5}$       

 

$\left|CD\right|=\frac{18}{\sqrt{5}}=\frac{18\sqrt{5}}{5}$  

 

 

---

Skorzystajmy ponownie z twierdzenia cosinusów - tym razem, aby wyznaczyć cosinus kąta  $\alpha$  :

$9^2=9^2+{\left(\frac{18\sqrt{5}}{5}\right)}^2-2\cdot 9\cdot \frac{18\sqrt{5}}{5}\cdot \cos \alpha$  

 

$81=81+\frac{324}{5}-\frac{324\sqrt{5}}{5}\cdot \cos \alpha$  

 

$-\frac{324}{5}=-\frac{324\sqrt{5}}{5}\cdot \cos \alpha \mid \cdot \left(-\frac{5}{324}\right)$  

 

$1=\sqrt{5}\cdot \cos \alpha \mid :\sqrt{5}$  

 

$\frac{1}{\sqrt{5}}=\cos \alpha$  

 

$\underline{\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}}$              

 

 

---

Aby wyznaczyć promień okręgu opisanego na tym trójkącie, skorzystamy z twierdzenia sinusów:

$2R=\frac{\left|CD\right|}{\sin \beta }$  

 

$\sin \beta =\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$  

 

$2R=\frac{\frac{18\sqrt{5}}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{18\sqrt{5}}{\sout{5}{}_1}\cdot \frac{\sout{5}{}^1}{4}=\frac{18\sqrt{5}}{4}=\frac{9\sqrt{5}}{2}$  

 

$R=\frac{9\sqrt{5}}{4}$  

 

 

---

Aby wyznaczyć promień okręgu wpisanego, skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta:

$P=r\cdot p$  

 

Gdzie r to promień okręgu wpisanego, a p to połowa obwodu trójkąta.

      

Wiemy już, ile wynosi pole tego trójkąta, możemy więc zapisać równanie:

$\frac{162}{5}=\frac{9+9+\frac{18\sqrt{5}}{5}}{2}\cdot r$        

 

$\frac{162}{5}=\frac{18+\frac{18\sqrt{5}}{5}}{2}\cdot r$  

 

$\frac{162}{5}=\left(9+\frac{9\sqrt{5}}{5}\right)\cdot r\mid \cdot 5$  

 

$162=\left(45+9\sqrt{5}\right)\cdot r\mid :\left(45+9\sqrt{5}\right)$  

 

$\frac{162}{45+9\sqrt{5}}=r$  

 

$r=\frac{162}{45+9\sqrt{5}}\cdot \frac{45-9\sqrt{5}}{45-9\sqrt{5}}=\frac{162\left(45-9\sqrt{5}\right)}{2025-405}=\frac{7290-1458\sqrt{5}}{1620}=\underline{4,5-0,9\sqrt{5}}$