$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$   - wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego.

 

 

a)

$a_n=\frac{1+3+\dots +\left(2n-1\right)}{2+4+6+\dots +2n}$  

 

Zarówno licznik, jak i mianownik, są sumami wyrazów pewnych ciągów arytmetycznych.

Licznik jest sumą kolejnych liczb nieparzystych - nazwijmy ten ciąg $\left(a_n\right)$   .

$r=2$  

$a_1=1$  

 

A zatem n-ty wyraz ciągu jest równy:

$a_n=a_1+\left(n-1\right)\cdot r$   

$a_n=1+\left(n-1\right)\cdot 2=1+2n-2=2\mathbf{n}-1$    - zauważmy, że dokładnie tak samo wygląda ostatni sumowany wyraz licznika - a więc w liczniku sumujemy n-pierwszych wyrazów ciągu $\left(a_n\right)$  

 

 

Mianownik jest sumą kolejnych liczb parzystych - nazwijmy ten ciąg  $\left(b_n\right)$  .

$r=2$  

$b_1=2$   

 

A zatem n-ty wyraz ciągu jest równy:

$b_n=2+\left(n-1\right)\cdot 2=2+2n-2=2\mathbf{n}$    - zauważmy, że dokładnie tak samo wygląda ostatni sumowany wyraz mianownika - a więc w mianowniku sumujemy dokładnie n-pierwszych wyrazów ciągu  $\left(b_n\right)$            

 

$S_L=\frac{1+2n-1}{2}\cdot n=n^2$  

 

$S_M=\frac{2+2n}{2}\cdot n=n+n^2$  

 

$a_n=\frac{n^2}{n+n^2}=\frac{n}{1+n}$  

 

 

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{1+n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n\cdot 1}{n\left(\frac{1}{n}+1\right)}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{\frac{1}{n}+1}=\frac{1}{1}=1$  

 

 

 

---

b)     

$a_n=\frac{1+4+7+\dots +\left(3n-2\right)}{\left(3n-1\right)\left(2n+1\right)}$   

 

Licznik jest sumą wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego.

$a_1=1$  

$r=3$  

$a_n=1+\left(n-1\right)\cdot 3=1+3n-3=3\mathbf{n}-2$   - zauważmy, że n-ty wyraz ciągu jest równy ostatniemu sumowanemu wyrazowi - a więc sumujemy dokładnie n-pierwszych wyrazów.

    

Zapiszmy sumę z licznika w postaci wyrażenia:

$S_L=\frac{1+3n-2}{2}\cdot n=\frac{1}{2}n\left(3n-1\right)$