a)

$4-\frac{4}{x}+\frac{4}{x^2}-\frac{4}{x^3}+\dots =\frac{8}{2x-1}$  

$x\ne 0$

$2x-1\ne 0$

$x\in \mathbb{R}\text{}\left\{0,\frac{1}{2}\right\}$

Zauważmy, że po lewej stronie równania mamy sumę ciągu geometrycznego:

$a_1=4$  

$q=-\frac{1}{x}$  

 

Aby można było wyznaczyć tę sumę, musi zachodzić warunek:

$-1<q<1$

$-1<-\frac{1}{x}<1$  

$-1<-\frac{1}{x}$

$\frac{1}{x}-1<0$

$\frac{1-x}{x}<0$

$\left(1-x\right)x<0$

$x\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(1,+\infty \right)$ 

Oraz:

$-\frac{1}{x}<1$

$-\frac{1}{x}-1<0$

$\frac{-1-x}{x}<0$

$\left(-x-1\right)\cdot x<0$

$x\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(0,+\infty \right)$

A więc sumę możemy wyznaczyć, gdy:

$x\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(1,+\infty \right)$

Obliczamy sumę:

$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{4}{1-\left(-\frac{1}{x}\right)}=\frac{4}{1+\frac{1}{x}}=\frac{4}{\frac{x+1}{x}}=\frac{4x}{x+1}$  

 

$\frac{4x}{x+1}=\frac{8}{2x-1}$  

 

$4x\left(2x-1\right)=8\left(x+1\right)$  

 

$8x^2-4x=8x+8$  

 

$8x^2-12x-8=0\mid :4$  

 

$2x^2-3x-2=0$  

 

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(-2\right)=9+16=25$  

 

$x_1=\frac{3+5}{2\cdot 2}=\frac{8}{4}=2$  

 

$x_1=\frac{3-5}{2\cdot 2}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}$  

 

Sprawdźmy, czy wyznaczone liczby spełniają założenie:

$x_1\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(1,+\infty \right)$ 

A więc  $x_1$   spełnia początkowe założenie

 

$x_1\cancel{\in }\left(-\infty ,-1\right)\cup \left(1,+\infty \right)$

Założenie nie jest spełnione, liczba  $x=-\frac{1}{2}$   nie spełnia równania.                    

---

---

b)

   $1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}+\dots =\frac{x-2}{x}$  

 

Po lewej stronie mam sumę nieskończonego szeregu geometrycznego.

$a_1=1$  

$q=-\frac{1}{x}$  

$-1<q<1$

$-1<-\frac{1}{x}<1$    

Tak jak w poprzednim podpunkcie:

$x\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(1,+\infty \right)$

 

$S=\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{x}\right)}=\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=\frac{1}{\frac{x+1}{x}}=\frac{x}{x+1}$