a)

$a_n=n^2$  

 

$b_n=a_{n+1}-a_n={\left(n+1\right)}^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1$  

 

$b_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}={\left(n+2\right)}^2-{\left(n+1\right)}^2=n^2+4n+4-n^2-2n-1=2n+3$  

 

$b_{n+1}-b_n=2n+3-\left(2n+1\right)=2n+3-2n-1=2$   - różnica między dwoma kolejnymi wyrazami jest stałą liczbą, więc ten ciąg jest arytmetyczny     

 

 

---

b)

$f\left(x\right)=3x^2+x-2$  

 

$b_n=f\left(n+1\right)-f\left(n\right)=3{\left(n+1\right)}^2+\left(n+1\right)-2-\left(3n^2+n-2\right)=3\left(n^2+2n+1\right)+n+1-2-3n^2-n+2=3n^2+6n+3+n-1-3n^2-n+2=6n+4$    

 

$b_{n+1}=f\left(n+2\right)-f\left(n+1\right)=3{\left(n+2\right)}^2+\left(n+2\right)-2-\left(3{\left(n+1\right)}^2+\left(n+1\right)-2\right)=3\left(n^2+4n+4\right)+n+2-2-\left(3\left(n^2+2n+1\right)+n+1-2\right)=3n^2+12n+12+n-\left(3n^2+6n+3+n-1\right)=3n^2+12n+12+n-3n^2-6n-3-n+1=6n+10$  

 

$b_{n+1}-b_n=6n+10-\left(6n+4\right)=6n+10-6n-4=6$   - różnica między dwoma kolejnymi wyrazami jest stałą liczbą (niezależną od n), a więc ciąg  $b_n$   jest arytmetyczny.