Sn jest sumą n początkowych...- Zadanie 8: Teraz matura. Matematyka. Zbiór zadań poziom rozszerzony

Rozwiązanie

Skoro $S_{n}$ jest sumą n początkowych wyrazów ciągu $a_{n}$ , to możemy zapisać, że:

1) $n = 1$

$a_{1} = S_{1} = 1 - 5 = - 4$

$n \geq 2$

$a_{2} = S_{2} - a_{1} = S_{2} - S_{1}$

$a_{3} = S_{3} - S_{2}$

$a_{4} = S_{4} - S_{3}$

Itd.

Ogólnie możemy zapisać wzór ciągu $a_{n}$ jako:

$a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = S_{n} n^{2} - 5 n - S_{n - 1} ((n - 1)^{2} - 5 (n - 1)) = n^{2} - 5 n - (n^{2} - 2 n + 1 - 5 n + 5) = n^{2} - 5 n - (n^{2} - 7 n + 6) = n^{2} - 5 n - n^{2} + 7 n - 6 = 2 n - 6$

$\underline{a_{n} = 2 n - 6}$

Sprawdźmy, czy ten ciąg jest arytmetyczny (sprawdźmy, czy różnica między dwoma kolejnymi wyrazami ciągu jest liczbą)

$r = a_{n + 1} - a_{n} = 2 (n + 1) - 6 - (2 n - 6) = 2 n + 2 - 6 + 2 n + 6 = 2$ - a więc ciąg $a_{n}$ jest ciągiem arytmetycznym o $r = 2$

$S_{n} = n^{2} - 5 n + 1$

Dla $n = 1$ mamy:

$a_{1} = S_{1} = 1^{2} - 5 \cdot 1 + 1 = - 3$

Treść dostępna tylko dla użytkowników z aktywnym Premium

Odrabiamy Premium

Jeden dostęp. Zadania, kursy wideo i wsparcie AI.

39 zł

Rozpocznij Premium

Opracowania zadań z ponad 3000 podręczników – przygotowane przez nauczycieli

Ponad 100 kursów wideo do sprawdzianów, E8 i matury

Odrabiak Pro – interaktywna nauka z każdym szkolnym podręcznikiem

Gotowe notatki, tablice edukacyjne i sprawdziany

Łukasz Solarz

Nauczyciel matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Związek między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego

Premium

11:40

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego

Premium

12:20

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Definicja ciągu arytmetycznego

12:29

Zobacz lekcję

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.