a)

Skoro  $S_n$   jest sumą n początkowych wyrazów ciągu  $a_n$  , to możemy zapisać, że:

1)  $n=1$   

$a_1=S_1=1-5=-4$   

 

2)

$n\ge 2$   

$a_2=S_2-a_1=S_2-S_1$  

$a_3=S_3-S_2$  

$a_4=S_4-S_3$    

Itd.     

 

Ogólnie możemy zapisać wzór ciągu  $a_n$   jako:

$a_n=S_n-S_{n-1}=\underset{S_n}{\underbrace{n^2-5n}}-\underset{S_{n-1}}{\underbrace{\left({\left(n-1\right)}^2-5\left(n-1\right)\right)}}=n^2-5n-\left(n^2-2n+1-5n+5\right)=n^2-5n-\left(n^2-7n+6\right)=n^2-5n-n^2+7n-6=2n-6$  

$\underline{a_n=2n-6}$  

 

Sprawdźmy, czy ten ciąg jest arytmetyczny (sprawdźmy, czy różnica między dwoma kolejnymi wyrazami ciągu jest liczbą)

$r=a_{n+1}-a_n=2\left(n+1\right)-6-\left(2n-6\right)=2n+2-6+2n+6=2$    - a więc ciąg  $a_n$   jest ciągiem arytmetycznym o  $r=2$          

 

 

---

b)

$S_n=n^2-5n+1$  

Dla  $n=1$   mamy: 

$a_1=S_1=1^2-5\cdot 1+1=-3$