Które wyrazy ciągu...- Zadanie 1: Teraz matura. Matematyka. Zbiór zadań poziom rozszerzony

Rozwiązanie

$a_{n} = n^{3} - 5 n^{2} - 5 n + 25$

$n > 0$

Chcemy wyznaczyć ujemne wyrazy $a_{n}$ :

$0 > n^{3} - 5 n^{2} - 5 n + 25$

$0 > n^{2} (n - 5) - 5 (n - 5)$

$0 > (n^{2} - 5) (n - 5)$

$0 > (n - 5) (n + 5) (n - 5)$

Naszkicujmy wykres wielomianu $w (x) = (x - 5) (x + 5) (x - 5)$

Interesują nas liczby naturalne spełniające powyższą nierówność:

$\underline{n = {3, 4}}$ - dla takich n wyrazy $a_{n}$ jest ujemne.

Wyznaczmy, dla jakich n wyrazy są większe niż 3:

$3 < n^{3} - 5 n^{2} - 5 n + 25$

$0 < n^{3} - 5 n^{2} - 5 n + 22$

Rozważmy wielomian $q (x) = x^{3} - 5 x^{2} - 5 x + 22$

Sprawdźmy, czy posiada on pierwiastki całkowite:

$q (1) = 1^{3} - 5 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 + 22 = 1 - 5 - 5 + 22 = 13 \neq = 0$ - a więc 1 nie jest pierwiastkiem

$q (2) = 2^{3} - 5 \cdot 2^{2} - 5 \cdot 2 + 22 = 8 - 20 - 10 + 22 = 0$ - a więc 2 jest pierwiastkiem wielomianu q(x) - może go więc podzielić przez dwumian x - 2:

$q (x) = (x - 2) (x^{2} - 3 x - 11)$

Spróbujmy rozłożyć ten wielomian na iloczyn dwumianów:

$x^{2} - 3 x - 11 = 0$

$Δ = (- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 11) = 9 + 44 = 53$

$x_{1} = \frac{3 + 53}{2} \approx \frac{3 + 7 , 3}{2} \approx 5, 15$

$x_{2} = \frac{3 - 53}{2} \approx \frac{3 - 7 , 3}{2} \approx - 2, 15$

Naszkicujmy wykres wielomianu q(x):

Liczby naturalne spełniające nierówność $(x - 2) (x^{2} - 3 x - 11) > 0$ to:

$n = 1$

$\underline{n \geq 6}$

$a_{n} = \frac{6 n - 16}{2 n - 7}$

Wyznaczmy dziedzinę.

$n \in N$

Mianownik musi być liczbą różną od 0, a więc:

$2 n - 7 \neq = 0$

$2 n \neq = 7$

$n \neq = 3, 5$

A więc ostatecznie dostajemy $n \in N$

Wyznaczmy, kiedy $a_{n}$ są ujemne:

$\frac{6 n - 16}{2 n - 7} < 0$

$(6 n - 16) \cdot (2 n - 7) < 0$

$6 (n - \frac{16}{6}) \cdot 2 (n - \frac{7}{2}) < 0$

$(n - \frac{8}{3}) \cdot (n - \frac{7}{2}) < 0$

Rozważmy nierówność:

$(x - \frac{8}{3}) \cdot (x - \frac{7}{2}) < 0$

$x \in R$

Jedyną liczbą naturalną spełniającą tę nierówność jest:

$\underline{n = 3}$

$\frac{6 n - 16}{2 n - 7} > 3$

$\frac{6 n - 16}{2 n - 7} - 3 > 0$

$\frac{6 n - 16}{2 n - 7} - \frac{3 ( 2 n - 7 )}{2 n - 7} > 0$

$\frac{6 n - 16 - 3 ( 2 n - 7 )}{2 n - 7} > 0$

$\frac{6 n - 16 - 6 n + 21}{2 n - 7} > 0$

$\frac{5}{2 n - 7} > 0$

Licznik jest liczbą dodatnią, a więc aby cała liczba była dodatnia, mianownik również musi być dodatni.

$2 n - 7 > 0$

$2 n > 7$

$n > 3, 5$

$\underline{n \geq 4}$

$a_{n} = 4 sin (n \frac{π}{2})$

Naszkicujmy wykres funkcji sinx:

Wypiszmy kilka kolejnych wyrazów ciągu $a_{n}$ :

$a_{0} = 0$

$a_{1} = 4 sin (\frac{π}{2}) = 4$

$a_{2} = 0$

$a_{3} = 4 sin (3 \cdot \frac{π}{2}) = - 4$

$a_{4} = 0$

$a_{5} = 4$

...

Ciąg ma ujemne wyrazy dla:

$n = 3 + 4 k, k \in N$

Ciąg przyjmuje wartości większe niż 3 w tych miejscach, w których przyjmuje wartość $a_{n} = 4$ :

$n = 1 + 4 k, k \in N$

(Uwaga! Skoro $a_{n}$ jest ciągiem, to $n \in N$ - zatem liczba k nie może należeć do zbioru liczb całkowitych - w odpowiedziach z tyłu zbioru zadań jest pomyłka)